Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq -2$

PT $\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}+3\sqrt{4}.\sqrt{x+2}-\sqrt{9}.\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}+6\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=2$

$\Leftrightarrow x+2=4$

$\Leftrightarrow x=2$ (tm)

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 4$

PT $\Leftrightarrow x-2+\sqrt{x-4}-2\sqrt{x-3}=0$

$\Leftrightarrow [(x-3)-2\sqrt{x-3}+1]+\sqrt{x-4}=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x-3}-1)^2+\sqrt{x-4}=0$

Vì $(\sqrt{x-3}-1)^2\geq 0; \sqrt{x-4}\geq 0$ với mọi $x\geq 4$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $\sqrt{x-3}-1=\sqrt{x-4}=0$

$\Leftrightarrow x=4$

Thử lại thấy tm

Vậy............

*Bạn tự vẽ hình nha*

a) Xét Δ ABC vuông tại A, có:

   Góc B + góc C = 90°

⇒ Góc C= 90° - Góc B= 90° - 50°= 40°

Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

· AC =BC.SinB = 50. Sin50°= 38,3 (cm)

· AB = BC. SinC= 50. Sin40°= 32,1 (cm)

Sai chỗ nào thì bảo mình nhen !

Bạn ơi, Tích ✅ cho mình với

Để chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2 với điều kiện a + b + c = 0 và -1 < a <= b <= c < 1, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giả định trái ngược (proof by contradiction).

Giả sử rằng a^2 + b^2 + c^2 >= 2, sau đó chúng ta sẽ chứng minh rằng điều kiện a + b + c = 0 không thể thỏa mãn.

Với a + b + c = 0, chúng ta có thể viết lại bằng cách sử dụng c = -(a + b):

a^2 + b^2 + (-a-b)^2 >= 2

Mở ngoặc và rút gọn:

a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 >= 2

3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2

Chúng ta sẽ chứng minh rằng bất phương trình trên không thể đúng với điều kiện -1 < a <= b <= c < 1.

Với -1 < a <= b <= c < 1, ta có:

-1 < a <= b <= -a-b < 1

Thêm cả hai vế của bất phương trình này:

-1 < a+b <= 0 < 1

Điều này cho thấy a + b không thể bằng 1 hoặc -1.

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng bất phương trình 3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2 không thể đúng với a + b không bằng 1 hoặc -1.

Ta có:

3a^2 + 2ab + 2b^2 >= 2

Với a + b không bằng 1 hoặc -1, ta có:

3a^2 + 2ab + 2b^2 > 3a^2 - a^2 + 2ab + b^2

= 2a^2 + 2ab + b^2

= (a + b)^2 + a^2

Vì (a + b)^2 >= 0 và a^2 >= 0, ta có:

(a + b)^2 + a^2 >= 0 + 0 = 0

Điều này cho thấy rằng bất phương trình không thể đúng.

Vì vậy, giả định ban đầu là sai và chúng ta kết luận rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2 với điều kiện a + b + c = 0 và -1 < a <= b <= c < 1.

a) đkxđ \(x\ge1\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-1}-3\right)+\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-10}{\sqrt{2x-1}+3}+\dfrac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x-1}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\left(nhận\right)\\\dfrac{2}{\sqrt{2x-1}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+3}=0\end{matrix}\right.\)

 Hiển nhiên pt thứ 2 vô nghiệm vì \(VT>0\) với mọi \(x\ge1\). Do đó pt đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=5\)

b) đkxđ: \(x\ge-3\)

 Để ý rằng \(x^2+2x+7=\left(x^2+1\right)+\left(2x+6\right)=\left(x^2+1\right)+2\left(x+3\right)\) nên nếu ta đặt \(\sqrt{x^2+1}=u\left(u\ge1\right)\) và \(\sqrt{x+3}=v\left(v\ge0\right)\) thì pt đã chot rở thành:

 \(u^2+2v^2=3uv\)

 \(\Leftrightarrow\left(u-v\right)\left(u-2v\right)=0\)

 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u=v\\u=2v\end{matrix}\right.\)

Nếu \(u=v\) thì \(\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x+3}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\x^2+1=x+3\end{matrix}\right.\) 

Mà \(x^2+1=x+3\)  \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\) (nhận)

 Nếu \(u=2v\) thì \(\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\x^2+1=4x+12\end{matrix}\right.\)

mà \(x^2+1=4x+12\)\(\Leftrightarrow x^2-4x-11=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{15}\) (nhận)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{2;-1;2\pm\sqrt{15}\right\}\)

a) \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}=5\) (ĐK: \(x\ge1\)) 

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}\right)^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow2x-1+x-1+2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}=25\)

\(\Leftrightarrow3x-2+2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}=25\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{27-3x}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{27-3x}{2}\ge0\\\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(\dfrac{27-3x}{2}\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}27-3x\ge0\\2x^2-2x-x+1=\dfrac{729-162x+9x^2}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x\le27\\8x^2-12x+4=9x^2-162x+729\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le9\\x^2-150x+725=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le9\\\left[{}\begin{matrix}x-5=0\\x-145=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le9\\\left[{}\begin{matrix}x=5\left(tm\right)\\x=145\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=5\)

Lời giải:
a. Hệ số 2>0 nên hàm đồng biến 

b. Hệ số $1-\sqrt{2}<0$ nên hàm nghịch biến 

c. Hệ số $-5<0$ nên hàm nghịch biến 

d. Hệ số $1+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến

e. Hệ số $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm đồng biến 

f. Hệ số $2+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến.

1cm

Lời giải:
a. Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm) 

$AH=2S_{ABC}:BC=AB.AC:BC=6.8:10=4,8$ (cm) 

$\sin B = \frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

b.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$BE.BA=BH^2$

$AF.AC=AH^2$
$\Rightarrow BE.BA+AF.AC=BH^2+AH^2=AB^2$ (đpcm)

Hình vẽ:

 Thật may câu này tương tự câu cuối trong đề thi HSG 9 tỉnh mình năm 2021-2022 nên biết làm :)) (bài lúc đó y chang thế này chỉ khác là số 2021 với 2022)

 Trước tiên ta sẽ chứng minh \(P\left(P\left(x\right)+x\right)=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\). Thật vậy, ta có:

 \(VP=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\) 

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+2x+1+mx+m+n\right)\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x^2+mx+n\right)+2x+m+1\right]\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+x^2+mx+n\)

\(=\left[\left(x^2+mx+n\right)+x\right]^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)

\(=\left[P\left(x\right)+x\right]^2+m\left[P\left(x\right)+x\right]+n\)

\(=P\left(P\left(x\right)+x\right)=VT\) 

Vậy đẳng thức được chứng minh. 

Từ \(P\left(P\left(x\right)+x\right)=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\), chọn \(x=2023\), ta được:

\(P\left(P\left(2023\right)+2023\right)=P\left(2023\right)P\left(2024\right)\)

\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có nghiệm nguyên là \(x=P\left(2023\right)+2023\) (đpcm)