Xét Delta 2 phương trình trên:

\(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge0\Rightarrow\) ít nhất một trong 2 phương trình trên có nghiệm

Sao giống cách Nhất Huy làm trên Facebook thế 😂

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)+3abc\)

\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(ab+bc+ac\right)+3abc\)

Xét: \(4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge9\)(1)

<=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(ab+bc+ac\right)-3abc\ge9\)

<=> \(\left(a+b+c\right)^2+\left(ab+bc+ac\right)-3abc\ge9\)

<=> \(ab+bc+ac\ge3abc\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)(2)

Để chứng (1) đúng ta cần chứng minh (2) đúng

Thật vậy ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

=> (2) đúng 

Vậy (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =1 .

Ai giúp em với ạ

1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)

<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)

<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)

Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)

Kết luận:...

Chắc đề thiếu. A; B là giao điểm của (P) và (d) 

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 

\(x^2=mx+1\)

<=> \(x^2-mx-1=0\)(1) 

(P) giao (d) tại hai điểm phân biệt

<=> Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta=m^2+4>0\) luôn đúng 

Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

hay (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\)

Gọi M là giao điểm của (d) và Oy 

=> \(M\left(0;1\right)\)

Ta có: \(S_{OAB}=S_{OAM}+S_{OBM}=3\)

<=> \(\frac{\left|x_1\right|.1}{2}+\frac{\left|x_2\right|.1}{2}=3\)

<=> \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=6\)

<=> \(x_1^2+x_2^2+2\left|x_1x_2\right|=6\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|=6\)

<=> \(m^2=2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=\sqrt{2}\\m=-\sqrt{2}\end{cases}}\)