Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel , ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}+\frac{1^2}{t}\ge\frac{16}{x+y+z+t}\)

\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=t\)

Vậy ta có điều phải chứng minh 

cách khác :3

Áp dụng bđt phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(< =>\frac{a+b}{ab}.\left(a+b\right).ab\ge\frac{4}{a+b}.\left(a+b\right).ab\)

\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(< =>\left(a-b\right)^2\ge\)(luôn đúng)

Nên ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)

mk chưa học đến lớp 9 

xin lỗi bn nha

Bài làm:

\(\frac{1}{x-1}.\sqrt{x^2-2x+1}\)

\(=\frac{1}{x-1}.\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\frac{1}{x-1}.\left|x-1\right|\)

\(=\frac{1}{x-1}.-\left(x-1\right)\)(Vì x < 1 ) 

\(=-1\)

1.a) \(\sqrt{x^2-4}-\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}.\left(\sqrt{x+2}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-2}=0\\\sqrt{x+2}-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\\sqrt{x+2}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x+2=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy x=2 hoặc x=-1

Để biểu thức có nghĩa thì +) trong căn luôn luôn >= 0

+) mẫu khác 0

Áp dụng vào bài ta có đk của x : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne\pm1\end{cases}}\)

Vậy để biểu thức trên có nghĩa thì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne\pm1\end{cases}}\)