\(Px=x-4\)

Theo bài ra: 

\(Px\le\frac{3}{2}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

<=> \(x-4\le\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{3}{2}\)

<=> \(2x-3\sqrt{x}-5\le0\)

<=> \(\left(2x+2\sqrt{x}\right)-\left(5\sqrt{x}+5\right)\le0\)

<=> \(2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-5\left(\sqrt{x}+1\right)\le0\)

ĐK: x > 0

<=> \(\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\le0\)

<=> \(2\sqrt{x}-5\le0\)

<=> \(\sqrt{x}\le\frac{5}{2}\)

<=> \(x\le\frac{25}{4}\)

Đối chiếu đk: \(0< x\le\frac{25}{4}\)

x nguyên vậy x = 1 ; x = 2; x = 3; x = 4 ; x = 5 ; x = 6

Kẻ đường kính CD, đi chứng minh AD=AB. Xét tam giác ADC vuông tại A (có cạnh DC là đường kính) nên AD^2+AC^2=DC^2 hay AB^2+AC^2=DC^2 = (2a)^2=4a^2.

Vào TKHĐ của mình tham khảo sol bạn nhé

Cách của em ạ :D

 Hạ OX vuông góc BC,OY vuông góc AC,OZ vuông góc AB.

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

\(\frac{1}{HA}+\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\ge\frac{9}{HA+HB+HC}\)

Mặt khác theo BĐT Erdos Mordell ta có:

\(OA+OB+OC\ge2\left(OX+OY+OZ\right)\)

Mà theo hệ quả của đường thẳng Euler thì HA=2OX;HB=2OY;HC=2OZ nên \(OA+OB+OC\ge HA+HB+HC\)

\(\Rightarrow HA+HB+HC\le3R\)

\(\Rightarrow\frac{1}{HA}+\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\ge\frac{9}{3R}=\frac{3}{R}=const\)

Khi đó A là điểm chính giữa cung BC.

Bg

Tổng số tuổi của cả công nhân nam và công nhân nữ là:

    32 x 40 = 1280 (tuổi)

Gọi số công nhân nam là x (người), số công nhân nữ là y (người)  (x, y \(\inℕ^∗\))

Lúc đó, tổng số tuổi của công nhân nam là 34x, tổng số tuổi của công nhân nữ là 26y

Theo đề bài: 34x + 26y = 1280 và x + y = 40

Xét 34x + 26y = 1280:

=> 8x + 26x + 26y = 1280

=> 8x + 26(x + y) = 1280

Mà x + y = 40

=> 8x + 26.40 = 1280

=> 8x + 1040 = 1280

=> 8x             = 1280 - 1040

=> 8x             = 240

=>   x             = 240 : 8

=>   x             = 30

=> Số công nhân nam là 30 người

Số công nhân nữ là:

   40 - 30 = 10 (người)

Vậy đội công nhân đó có 30 người là công nhân nam, 10 người là công nhân nữ.

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có :

\(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b^2+b+c^2+c+a^2}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+a^2+b+b^2+c+c^2}=\frac{3^2}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{9}{a^2+1+b^2+1+c^2+1}\)

Theo đánh giá của AM-GM thì ta có :

 \(a^2+1\ge2\sqrt[2]{a^2}=2a\)

\(b^2+1\ge2\sqrt[2]{b^2}=2b\)

\(c^2+1\ge2\sqrt[2]{c^2}=2c\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2a+2b+2c\)

Khi đó thì \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{9}{2a+2b+2c}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy bài toán đã được chứng minh hoàn tất 

ở mẫu lớn hơn hoặc bằng thì đảo ngược là bé thua hoặc bằng mà bạn ơi