Ta có : \(\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}\) ( vì \(x^2+y^2+z^2=1\)) 

Vì x^2 + y^2 + z^2 = 1 ; x,y,z > 0 nên : 0 < x ; y ; z < 1 

Đến đây , dùng UCT , ta đánh giá được : \(\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}\) ( với 0 < x < 1 )  (1) 

CMTT , ta có : \(\frac{y}{x^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}y^2+\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}z^2+\frac{\sqrt{3}}{3}\) (2)

Lấy (1) cộng (2) ra đpcm .... 

Sai đề nhá, đáng lẽ \(0\le x,y,z\le1\)

Ta dễ có:
\(1+y+zx\le x^2+xy+xz\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\ge\frac{x}{x^2+xy+xz}=\frac{1}{x+y+z}\)

Tương tự:

\(\frac{y}{1+z+xy}\ge\frac{1}{x+y+z};\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{3}{x+y+z}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

Trả lời:

\(\sqrt{9x^2+6x+1}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3x+1\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|3x+1\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+1=5\\3x+1=-5\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}3x=4\\3x=-6\end{cases}}\)

                                         \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{4}{3};-2\right\}\)

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{9x^2+6x+1}=5\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+1=5^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+1=5\\3x+1=-5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x=4\\3x=-6\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT \(S=\left\{-2;\frac{4}{3}\right\}\)

Học tốt!!!!

đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;2y;3z\right)\)\(\Rightarrow\)\(abc=1\)

bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^3+b^3+1}\le1\)

\(VT\le\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=1\)

@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))

Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)

Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y

Bài làm:

Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)

Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)

Học tốt!!!!