\(n^5+1⋮n^3+1\)

\(\Leftrightarrow n^5-n^3⋮n^3+1\)

\(\Leftrightarrow n^3\left(n^2-1\right)⋮n^3+1\)

Vì \(gcd\left(n^3,n^3+1\right)=1\) nên từ đây suy ra \(n^2-1⋮n^3+1\) (*)

Nếu \(n=1\) thì (*) thành \(0⋮2\) (thỏa mãn)

Nếu \(n\ge2\) thì (*) suy ra \(n^3+1\le n^2-1\) 

\(\Leftrightarrow f\left(n\right)=n^3-n^2+2\le0\)     (1)

Ta thấy \(f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)^2+2-n^3+n^2-2\)

\(=n^3+3n^2+3n+1-n^2-2n-1-n^3+n^2\)

\(=3n^2+n>0,\forall n\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(n\right)\) là hàm số đồng biến trên \(ℕ_{\ge2}\) (cái này mình kí hiệu cho gọn thôi chứ bạn đừng viết vào bài làm nhé)

\(\Rightarrow f\left(n\right)\ge f\left(2\right)=6>0\)

Do đó (1) vô lý \(\Rightarrow n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn ycbt.

\(\dfrac{n^5+1}{n^3+1}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n^4-n^3+n^2-n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\dfrac{n^4-n^3+n^2-n+1}{n^2-n+1}\)

\(=\dfrac{n^2\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)}{n^2-n+1}=n^2-\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\)

Để \(n^5+1⋮n^3+1\Rightarrow\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\in Z\)

- Với \(n=1\) thỏa mãn

- Với \(n>1\Rightarrow n^2-n>n^2-n=n\left(n-1\right)>n-1\)

\(\Rightarrow0< \dfrac{n-1}{n^2-n+1}< 1\) \(\Rightarrow\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\notin Z\)

Vậy \(n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn

\(\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{x+3}-9\sqrt{y+1}=2\\5\sqrt{x+3}+3\sqrt{y+1}=31\end{matrix}\right.\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=a>0\\\sqrt{y+1}=b>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-9b=2\\5a+3b=31\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-9b=2\\15a+9b=93\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-9b=2\\19a=95\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a=5\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=5\\\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: .... 

\(x^2+3x+2+2\left(2-x\right)\sqrt{x-1}=0\left(x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2x+2-2\left(x-2\right)\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)-2\left(x-2\right)\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\\sqrt{x-1}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\x-1=0\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\x=1\left(tm\right)\\x-1=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\\x=5\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy: \(x\in\left\{1;2;5\right\}\)

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H

=>AH*AO=AB^2

Xet ΔABD và ΔAEB có

góc ABD=góc AEB

góc BAD chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔAEB

=>AB^2=AD*AE=AH*AO

=>AD/AO=AH/AE

=>ΔADH đồng dạng với ΔAOE
=>góc ADH=góc AOE

=>góc DHO+góc DEO=180 độ

=>DEOH nội tiếp

=>góc EHO=góc EDO

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H

=>AH+AO=ABx2

Xet ΔABD và ΔAEB có

          góc ABD = góc AEB

           góc BAD chung

      =>ΔABD đồng dạng với ΔAEB

=>AB^2=AD*AE=AH*AO

=>AD/AO=AH/AE

=>ΔADH đồng dạng với ΔAOE
=>góc ADH=góc AOE

=>góc DHO+góc DEO=180 độ

=>góc EHO=góc EDO

=>OB vuuong góc với d

Lời giải:
Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức, số dư của  $P(x)$ khi chia $2x-5$ là $P(\frac{5}{2})=\frac{5}{4}(\frac{5}{2})^3+\frac{5}{6}(\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}.\frac{5}{2}+\frac{1}{6}=\frac{377}{32}$

M A B O C H D

a/

Xét tg vuông AMO có

\(\sin\widehat{AMO}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AMO}=30^o\)

Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có

MO chung; OA=OB=R => tg AMO = tg BMO (Hai tg vuông có cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=30^o\Rightarrow\widehat{AMO}+\widehat{BMO}=\widehat{AMB}=30^o+30^o=60^o\)

Xét tg MAB có

tg AMO = tg BMO (cmt) => MA=MB => tg MAB cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

Ta có

\(\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^o-\widehat{AMB}=180^0-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{MAB}=120^o\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=120^o:2=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=60^o\) => tg MAB là tg đều

b/ Gọi H là giao của MO với AB

\(\Rightarrow AB\perp MO;HA=HB\) (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc và chia đôi đoạn thẳng nối 2 tiếp điểm)

Ta có

\(S_{AOC}=\dfrac{1}{2}.HA.OC;S_{BOC}=\dfrac{1}{2}.HB.OC\) mà HA=HB (cmt)

\(\Rightarrow S_{AOC}=S_{BOC}\)

\(S_{AOBC}=S_{AOC}+S_{BOC}=2.S_{AOC}=HA.OC\) 

Xét tg vuông AMO có

\(AO^2=OH.MO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{AO^2}{MO}=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\)

Ta có

\(MH=MO-OH=2R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}\)

Ta có

\(HA^2=MH.OH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow HA=\sqrt{MH.OH}=\sqrt{\dfrac{3R}{2}.\dfrac{R}{2}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{AOBC}=HA.OC=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

c/

Ta có

\(MA\perp OA;OD\perp OA\) => MA//OD

 \(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{AMO}=30^o\) (góc so le trong)

Xét tg vuông BMO có

\(\widehat{MOB}=90^o-\widehat{OMB}=90^o-30^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{MOB}-\widehat{MOD}=60^o-30^o=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{BOD}=30^o\)

Xét tg BOD và tg COD có

\(OB=OC=R\)

OD chung

\(\widehat{BOD}=\widehat{MOD}\) (cmt)

=> tg BOD = tg COD (c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{OCD}=\widehat{OBD}=90^o\Rightarrow CD\perp OC\)

=> CD là tiếp tuyến với (O)

\(\Leftrightarrow36x-20=4y^2-4y\)

\(\Leftrightarrow18\left(2x-1\right)=\left(2y-1\right)^2+1\)

Vế trái chia hết cho 3, vế phải chia 3 luôn dư 1 hoặc 2

Vậy không tồn tại cặp số nguyên x, y thỏa mãn

 Vì  \(9x-5\equiv4\left[9\right]\) nên \(y\left(y-1\right)=y^2-y\equiv4\left[9\right]\) hay \(y^2-y-4⋮9\) 

\(\Leftrightarrow y^2-5y+4y-20+16⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(y-5\right)\left(y+4\right)+16⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(y-5\right)\left(y+4\right)-2⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(y-5\right)\left(y-5+9\right)-2⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(y-5\right)^2+9\left(y-5\right)-2⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(y-5\right)^2-2⋮9\)

\(\Rightarrow\left(y-5\right)^2-2⋮3\) hay \(\left(y-5\right)^2\equiv2\left(mod3\right)\)

 Điều này là vô lí vì số chính phương khi chia cho 3 không thể có số dư là 2. 

 Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên.