Ta có \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=8\)\(\Leftrightarrow a^2+ab+bc+ca=8\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)+bc=8\)

Mặt khác vì \(a,b,c>0\) nên ta có thể lấy căn bậc hai của C: \(C=abc\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{C}=\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a\left(a+b+c\right)\)và \(bc\), ta có:

\(\sqrt{C}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=\frac{8}{2}=4\)(vì \(a\left(a+b+c\right)+bc=8\left(cmt\right)\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{C}\le4\)\(\Leftrightarrow C\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a\left(a+b+c\right)=bc\)\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)-bc=0\)\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)+bc-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow8-2bc=0\)\(\Leftrightarrow2bc=8\)\(\Leftrightarrow bc=4\)

Như vậy với \(a,b,c>0\) và \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=8\)thì GTLN của C là 16 khi \(bc=4\)

Em lớp 9, nếu bài làm có gì sai thì mong chị thông cảm ạ.

Theo bất đẳng thức Cô - si :

\(x+y>2\sqrt{xy}\)

Ta có :

\(\frac{a^2}{\left(b+c\right)}\)\(+\frac{\left(b+c\right)}{4}\)\(=a\)

\(\frac{b^2}{\left(c+a\right)}\)\(+\frac{\left(a+c\right)}{4}\)\(=b\)

\(\frac{c^2}{\left(a+b\right)}\)\(+\frac{\left(a+b\right)}{4}\)\(=c\)

Cộng thoeo vế , ta được :

\(\frac{a^2}{\left(b+c\right)}\)\(+\frac{b^2}{\left(c+a\right)}\)\(+\frac{c}{\left(a+b\right)}\)\(+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)\(=\left(a+b+c\right)\)

\(\frac{a^2}{\left(b+c\right)}\)\(+\frac{b^2}{\left(c+a\right)}\)\(+\frac{c^2}{\left(a+b\right)=}\)\(=a+b+c=4\)

Vậy GTNN là \(4\)