a, \(\sqrt{x^2+12x+40}\)

\(=\sqrt{\left(x+6\right)^2+4}\)

Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\left(x+6\right)^2+4\ge0\) mà \(\left(x+6\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+6\right)^2+4\ge4\forall x\)

Vậy biểu thức trên xác định với mọi x

b, \(\frac{1}{\sqrt{9x^2-6x+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}\)

Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(3x-1\right)^2\ge0\\\left(3x-1\right)^2\ne0\end{cases}}\)

                                        \(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\ne0\)vì (3x-1)² luôn \(\ge\)0 với mọi x

                                        \(\Leftrightarrow3x-1\ne0\Leftrightarrow3x\ne1\Leftrightarrow x\ne\frac{1}{3}\)

Vậy biểu thức trên xác định khi và chỉ khi \(x\ne\frac{1}{3}\)

c, \(\sqrt{\left(4x^2+2x+3\right)\left(3-2x\right)}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\ge0\\3-2x\ge0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\le0\\3-2x\le0\end{cases}}\end{cases}}\)Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\ge0\\3-2x\ge0\end{cases}}\)(1)  hoặc \(\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\le0\\3-2x\le0\end{cases}}\)(2)

                                            mà \(4x^2+2x+3=\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\)luôn \(\ge\frac{11}{4}\)\(\forall x\)

                                       \(\Rightarrow\)(2) không thỏa mãn, (1) thỏa mãn 

Từ (1)\(\Rightarrow3-2x\ge0\)(vì \(4x^2+2x+3\)luôn \(\ge0\forall x\))

           \(\Rightarrow3\ge2x\)

            \(\Rightarrow\frac{3}{2}\ge x\)hay\(x\le\frac{3}{2}\)

Vậy biểu thức trên xác định khi và chỉ khi \(x\le\frac{3}{2}\)

d, \(\sqrt{\frac{2x^2+3x+16}{5-7x}}\)

=\(\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2+\frac{119}{8}}}{\sqrt{5-7x}}\)

Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2\\5-7x>0\end{cases}+\frac{119}{8}\ge0}\)

mà \(\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2+\frac{119}{8}\ge\frac{119}{8}\forall x\)

\(\Rightarrow\)Biểu thưc trên xác định \(\Leftrightarrow5-7x>0\)\(\Leftrightarrow5>7x\Leftrightarrow\frac{5}{7}>x\)hay \(x< \frac{5}{7}\)

\(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\)

\(=\frac{\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}+\sqrt{7+2\sqrt{7}+1}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\sqrt{14}\)

Đặt \(A=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\)

\(\sqrt{2}A=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2-2\sqrt{7}+1}-\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2+2\sqrt{7}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}=\left|\sqrt{7}-1\right|-\left|\sqrt{7}+1\right|\)

\(=\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1=-2\)

\(\Rightarrow A=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

\(A=\sqrt{x+2\sqrt{2x-4.}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4.}}\)

\(A=\sqrt{x-2+2\sqrt{x-2\sqrt{2+2}}}+\sqrt{\sqrt{x-2-2\sqrt{x-2\sqrt{2+2}}}}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\right)^2+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)^2}}\)

\(A=\left|\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\right|+\left|\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right|\)

Với \(\sqrt{x-2}\ge\sqrt{2}\)thì : \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{2}+\sqrt{x-2}-\sqrt{2}=2\sqrt{x-2}\)

Với \(\sqrt{x-2}\le\sqrt{2}\)thì : \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{x-2}=2\sqrt{2}\)

\(A=\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}\)

\(A^2=x+2\sqrt{2x-4}+2\sqrt{x^2-4\left(2x-4\right)}+x-2\sqrt{2x-4}\)

\(=2x+2\sqrt{x^2-8x+16}=2x+2\left|x-4\right|\)

M=x+2y =>x=M-2y

(M-2y)²+2.(M-2y).y+3.y²=6

3.y²-2My+M²-6=0

Pt có nghiệm khi \(\Delta'\ge0\\ M^2-3.\left(M^2-6\right)\ge0\\ -2M^2+18\ge0\\ M^2\le9\\ \)

\(-3\le M\le3\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)

\(BĐT< =>\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)

\(< =>\frac{ac^2+ba^2+cb^2+\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}\)

\(< =>2\left[ac^2+ba^2+cb^2+\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\right]\ge3\left[\left(a+b+c\right)\left(...\right)-abc\right]\)

\(< =>2\left(ac^2+a^2b+cb^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

\(< =>ac^2+a^2b+cb^2\ge ca^2+ab^2+c^2b\)

\(< =>\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\)(đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta có bất đẳng thức sau \(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)( cm = bunhia phân thức )

\(< =>1+\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+\frac{b+c}{a+b}+\frac{b+c}{c+a}+1+\frac{c+a}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}\ge9\)

\(< =>\frac{a}{a+b}+\frac{2a}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge6\)(*)

Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\);\(B=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}\);\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

Khi đó bất đẳng thức (*) tương đương với \(A+B+2C\ge6\)

Do\(A+B=3\)\(=>2C\ge3=>C\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(A+B+C\ge6-\frac{3}{2}=\frac{12-3}{2}=\frac{9}{2}\)(1)

Xét tổng :\(B+C=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\ge3\)(AM-GM) (2)

Từ (1) và (2) ta được \(A\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

Done !

tui ko bít :)

lô,tôi không biết

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\Delta'>0\Leftrightarrow M^2+4>0\) luôn đúng

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi M

Ta có : \(\Delta=\left(2m\right)^2-4\left(-4\right)=4m^2+16\ge16>0\)* luôn đúng *

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt