Đặt \(\left(a;2b;3c\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

\(M=xy-yz+zx\)

Ta có:

\(4M+1=4\left(xy-yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)^2\)

\(=6xy+6zx+x^2+y^2+z^2-2yz\)

\(=\left(y-z\right)^2+x\left(6y+6z+x\right)\ge0\) (do \(x;y;z\ge0\))

\(\Rightarrow4M+1\ge0\)

\(\Rightarrow M\ge-\dfrac{1}{4}\)

\(M_{min}=-\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x=0\\y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{6}\right)\)

Sửa đề: |x1|-|x2|=4

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=mx+m+1\)

=>\(x^2-mx-m-1=0\)(1)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m-1\right)\)

\(=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>(m+2)^2>0

=>m+2<>0

=>m<>-2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m-1\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=4\)

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=4\)

=>\(\sqrt{m^2-4\left(-m-1\right)}=4\)

=>\(\sqrt{\left(m+2\right)^2}=4\)

=>|m+2|=4

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+2=4\\m+2=-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-6\end{matrix}\right.\)(2)

Khi m<>-2 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{m-\sqrt{\left(m+2\right)^2}}{2}=\dfrac{m-m-2}{2}=-1\\x=\dfrac{m+\sqrt{\left(m+2\right)^2}}{2}=\dfrac{m+m+2}{2}=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left|-1\right|-\left|m+1\right|=4\\\left|m+1\right|-\left|-1\right|=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left|m+1\right|=1-4=-3\left(loại\right)\\\left|m+1\right|=4+1=5\end{matrix}\right.\)

=>|m+1|=5

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-6\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (2),(3) suy ra m=-6

$abc\ge \left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)$

$\iff abc\ge \left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)$

$\iff 9abc\ge 12\left(ab+bc+ca\right)-27$

⇒𝑎𝑏𝑐≥43(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)−3⇒abc≥34​(ab+bc+ca)−3

𝑃≥9𝑎(𝑏2+𝑏𝑐+𝑐2)+𝑏(𝑐2+𝑐𝑎+𝑎2)+𝑐(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2)+𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=9(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)(𝑎+𝑏+𝑐)+𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎P≥a(b2+bc+c2)+b(c2+ca+a2)+c(a2+ab+b2)9​+ab+bc+caabc​=(ab+bc+ca)(a+b+c)9​+ab+bc+caabc​

⇒𝑃≥3𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎+𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=3+𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎⇒P≥ab+bc+ca3​+ab+bc+caabc​=ab+bc+ca3+abc​

⇒𝑃≥3+43(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)−3𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=43⇒P≥ab+bc+ca3+34​(ab+bc+ca)−3​=34​

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Vũ Hải Nam ơi sai dấu bằng với nhầm a,b,c thỏa mãn đề bài rồi

Bán kính đáy là: \(1,7:2=0,85\left(m\right)\)

Thể tích bồn là: \(V=\pi R^2h=\pi.0,85^2.4,8\approx10,9\left(m^3\right)\)

Bồn chứa được nhiều nhất là: \(10,9\times90\%=9,8\left(m^3\right)\)

Để tính dung tích của bồn chứa LPG, ta sử dụng công thức:

\[ V = \pi \times r^2 \times h \]

Trong đó:
- \( V \) là dung tích của bồn chứa LPG,
- \( r \) là bán kính đáy của hình trụ (\( r = \frac{d}{2} \)),
- \( h \) là chiều cao của hình trụ.

Với \( d \) là đường kính đáy của hình trụ, ta có:
\[ r = \frac{1.7}{2} = 0.85 \, \text{m} \]

Vậy \( r = 0.85 \, \text{m} \).

\[ h = 4.8 \, \text{m} \]

Dung tích bồn chứa LPG là:
\[ V = \pi \times (0.85)^2 \times 4.8 \]
\[ V = \pi \times 0.7225 \times 4.8 \]
\[ V \approx 10.89 \pi \, \text{m}^3 \]

Theo quy chuẩn kỹ thuật, lượng LPG không được vượt quá 90% dung tích bồn chứa. Vậy dung tích tối đa của LPG trong bồn là:
\[ 0.9 \times 10.89 \pi \approx 9.801 \pi \, \text{m}^3 \]

Để chuyển sang diện tích, chúng ta sử dụng công thức:
\[ \text{Diện tích} = \frac{\text{Dung tích}}{\text{Chiều cao bồn}} \]

\[ \text{Diện tích} = \frac{9.801 \pi}{4.8} \approx 6.13 \, \text{m}^2 \]

Vậy bồn có thể chứa nhiều nhất khoảng \(6.13 \, \text{m}^2\) LPG.

Gọi số tuổi của An là x, số tuổi của mẹ An là y (x;y là số nguyên dương)

Do 3 lần tuổi An ít hơn tuổi mẹ An là 4 tuổi nên ta có:

\(y-3x=4\) (1)

Do 4 lần tuổi An nhiều hơn mẹ An 10 tuổi nên ta có:

\(4x-y=10\) (2)

Từ (1);(2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}-3x+y=4\\4x-y=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=14\\y=46\end{matrix}\right.\)

Gọi \(x\) là số tuổi của An và \(y\) là số tuổi của mẹ An.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

1. Ba lần tuổi của An nhỏ hơn tuổi của mẹ An là 4 tuổi:
\[3x = y - 4\]

2. Bốn lần tuổi của An lại lớn hơn tuổi của mẹ An là 10 tuổi:
\[4x = y + 10\]

Giải hệ phương trình này để tìm \(x\) và \(y\):

Từ phương trình 1, ta có \(y = 3x + 4\).

Thay \(y\) vào phương trình 2, ta được:
\[4x = (3x + 4) + 10\]
\[4x = 3x + 14\]
\[x = 14\]

Thay \(x = 14\) vào phương trình 1, ta được:
\[3(14) = y - 4\]
\[42 = y - 4\]
\[y = 46\]

Vậy, số tuổi của mẹ An là 46 tuổi và số tuổi của An là 14 tuổi.

Do \(ac< 0\) (đối với cả 2 pt) nên 2 pt đã cho đều có 2 nghiệm pb trái dấu

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\left(m+2\right)\\x_3x_4=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2+x_3x_4=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow x_1x_3+x_2x_4=x_1x_2+x_3x_4\)

\(\Rightarrow x_1\left(x_3-x_2\right)-x_4\left(x_3-x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_4\right)\left(x_3-x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_4\\x_2=x_3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hai pt đã cho có ít nhất 1 nghiệm chung. Gọi nghiệm chung đó là \(x_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0^2-\left(m+2\right)x_0-1=0\\x_0^2+\left(m+2\right)x_0-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0^2-\left(m+2\right)x_0-1=0\left(1\right)\\2x_0^2+2\left(m+2\right)x_0-4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế (2) cho (1)

\(\Rightarrow3\left(m+2\right)x_0-3=0\Rightarrow x_0=\dfrac{1}{m+2}\) (với \(x\ne-2\))

Thế vào (1)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(m+2\right)^2}-2=0\Rightarrow\left(m+2\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Gọi số sản phẩm ban đầu nhóm công nhân dự định làm trong 1 ngày là x(sản phẩm)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số ngày ban đầu dự kiến sẽ hoàn thành là \(\dfrac{500}{x}\left(ngày\right)\)

Sau 4 ngày đầu thì số sản phẩm nhóm công nhân làm được là 4x(sản phẩm)

=>Số sản phẩm còn lại cần làm là 500-4x(sản phẩm)

Thời gian hoàn thành phần còn lại là: \(\dfrac{500-4x}{x+10}\left(ngày\right)\)

Theo đề, ta có phương trình:

\(\dfrac{500-4x}{x+10}+4=\dfrac{500}{x}-1\)

=>\(\dfrac{500-4x}{x+10}+5=\dfrac{500}{x}\)

=>\(\dfrac{500-4x+5x+50}{x+10}=\dfrac{500}{x}\)

=>\(\dfrac{x+550}{x+10}=\dfrac{500}{x}\)

=>\(x\left(x+550\right)=500\left(x+10\right)\)

=>\(x^2+550x-500x-5000=0\)

=>\(x^2+50x-5000=0\)

=>(x+100)(x-50)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-100\left(loại\right)\\x=50\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số sản phẩm dự kiến làm trong 1 ngày là 50 sản phẩm

a) ∆' = (-m)² - (2m - 1)

= m² - 2m + 1

= (m - 1)² ≥ 0 với mọi m ∈ R

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m ∈ R

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = 2m

x₁x₂ = 2m - 1

(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = -4

(2m)² - 4(2m - 1) = -4

4m² - 8m + 4 + 4 = 0

4m² - 8m + 8 = 0 (*)

∆' = (-4)² - 4.8 = -16 < 0

⇒ (*) vô nghiệm

Vậy không tìm được m thỏa mãn (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = -4