CMR: \(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+...+\frac{1}{\sqrt[3]{999}}>147\)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), AB<AC. Đường cao BE, CF cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi T là điểm thuộc đường tròn (O) sao cho ATH = 90. G là giao điểm EF với BC

a) Chứng minh các điểm A, T, F, H, E cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh 3 điểm A, T, G thẳng hàng

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: \(b^2c^2=\left(ac+b\sqrt{b^2+c^2}\right)\left(c\sqrt{a^2+b^2}-b^2\right)\)

Chứng minh rằng: \(b^2=ac\)

Cho tam giác ABC nôi tiếp (O). Gọi D là 1 điểm thuộc cung AB. Qua D kẻ dây DD'//AC ở F. Đường thẳng AD' cắt BC ở E.

a,CMR: tam giác ABD đồng dạng tam giác AEC và tam giác ABE đồng dạng tam giác ADC.

b, CMR: AD.AE=AB.AC.

c, CMR: tam giác AFD đồng dạng tam giác AD'B.

Cho (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S vẽ 2 tiếp tuyến SA và SA' và cát tuyến SBC. tia phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của OS và AA', G  và F lần lượt là giao điểm của OE và AA' với BC

CMR: SA=SB

cho 2 đường thẳng y=x+3(d1);y=3x+7(d2) a)Gọi A và B là giao điểm của d1 và d2 với trục Oy.Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB b)Gọi J là giao điểm của (d1)và(d2) .Tam giác OIJ là hình gì?Tính diện tích của tam giác đó

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)