Ta có BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(1\cdot\sqrt{a}+1\cdot\sqrt{b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\) (*)  

Dấu "=" xảy ra khi: \(\dfrac{\sqrt{a}}{1}=\dfrac{\sqrt{b}}{1}\Leftrightarrow a=b\)

a) \(2\le x\le4\)

Áp dụng bđt (*) ta có:  

\(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}=2\) 

Dấu "=" xảy ra khi: \(x-2=4-x\Leftrightarrow x=3\) (tm) 

b) \(-2\le x\le6\)

Áp dụng bđt (*) ta có:  

\(B=\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\le\sqrt{2\left(6-x+x+2\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(6-x=x+2\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)\)

c) \(0\le x\le2\) 

\(C=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\le\sqrt{2\left(x+2-x\right)}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=2-x\Leftrightarrow x=1\left(tm\right)\)

2h30p=2,5 giờ

Vận tốc lúc đi của cano là \(\dfrac{60}{2,5}=24\)(km/h)

vận tốc lúc về của cano là \(\dfrac{60}{3}=20\)(km/h)

Gọi vận tốc thật của cano là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của dòng nước là 24-x(km/h)

Vận tốc lúc về là 20km/h nên ta có:

x-(24-x)=20

=>x-24+x=20

=>2x=20+24=44

=>\(x=\dfrac{44}{2}=22\left(nhận\right)\)

Vậy: Vận tốc thật của cano là 22km/h

Vận tốc của dòng nước là 24-22=2km/h

Gọi số tiền bác Nam đầu tư vào khoản trái phiếu là x(triệu đồng)

(Điều kiện: x>0)

Số tiền bác Nam đầu tư vào khoản gửi tiết kiệm là:

900-x(triệu đồng)

Số tiền lãi bác Nam thu được khi đầu tư vào khoản trái phiếu là:

\(x\cdot7\%=0,07x\)(triệu đồng)

Số tiền lãi bác Nam thu được khi gửi tiết kiệm là:

\(\left(900-x\right)\cdot6\%=0,06\left(900-x\right)\)(triệu đồng)

Tổng số tiền lãi thu được là 58 triệu đồng nên ta có:

0,07x+0,06(900-x)=58

=>0,07x+54-0,06x=58

=>0,01x=4

=>x=400(nhận)

Vậy: số tiền bác Nam đầu tư vào khoản trái phiếu là 400(triệu đồng)

Số tiền bác Nam đầu tư vào khoản gửi tiết kiệm là:900-400=500(triệu đồng)

Tổng vận tốc hai xe là 270:3=90(km/h)

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x(km/h)

(Điều kiện: 0<x<90)

Vận tốc xe thứ hai là 90-x(km/h)

Độ dài quãng đường xe thứ nhất đi được sau 3 giờ là:

3x(km)

Độ dài quãng đường xe thứ hai đi được sau 3 giờ là:

3(90-x)(km)

Xe thứ nhất đi được nhiều hơn xe thứ hai 6km nên ta có:

3x-3(90-x)=6

=>3x-270+3x=6

=>6x=276

=>x=276/6=46(nhận)

Vậy: Vận tốc xe thứ nhất là 46km/h

Vận tốc xe thứ hai là 90-46=44km/h

Gọi số linh kiện tổ A và tổ B lắp được trong 1 ngày lần lượt là x(linh kiện) và y(linh kiện)

(Điều kiện: \(x,y\in Z^+\))

Mỗi ngày tổ A lắp ráp được nhiều hơn tổ B là 30 linh kiện nên x-y=30(1)

Số linh kiện tổ A lắp được trong 6 ngày là 6x(linh kiện)

Số linh kiện tổ B lắp được trong 5 ngày là 5y(linh kiện)

Nếu tổ A lắp trong 6 ngày và tổ B lắp trong 5 ngày thì hai tổ lắp được 2600 bộ nên 6x+5y=2600(2)

Từ (1),(2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=30\\6x+5y=2600\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-6y=180\\6x+5y=2600\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6x+5y-6x+6y=2600-180\\x-y=30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11y=2420\\x=y+30\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=220\\x=220+30=250\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số linh kiện tổ A và tổ B lắp được trong 1 ngày lần lượt là 250(linh kiện) và 220(linh kiện)

Gọi năng suất dự định của công nhân đó là x(sản phẩm/giờ)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Năng suất thực tế là x+2(sản phẩm/giờ)

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(\dfrac{15}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian thực tế hoàn thành là \(\dfrac{25}{x+2}\left(giờ\right)\)

Vì người đó hoàn thành đúng thời hạn nên ta có:

\(\dfrac{15}{x}=\dfrac{25}{x+2}\)

=>25x=15(x+2)

=>10x=30

=>x=3(nhận)

vậy: Năng suất dự định là 3 sản phẩm/giờ

Gọi vận tốc lúc đi là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc lúc về là x+10(km/h)

Thời gian đi là \(\dfrac{150}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian về là \(\dfrac{150}{x+10}\left(giờ\right)\)

Tổng thời gian cả đi lẫn về là 5h30p=5,5 giờ nên ta có:

\(\dfrac{150}{x}+\dfrac{150}{x+10}=5,5\)

=>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+10}=\dfrac{150}{5,5}=\dfrac{300}{11}\)

=>\(\dfrac{x+10+x}{x\left(x+10\right)}=\dfrac{300}{11}\)

=>300x(x+10)=11(2x+10)

=>\(300x^2+3000x-22x-110=0\)

=>\(300x^2+2978x-110=0\)(1)

\(\text{Δ}=2978^2-4\cdot300\cdot\left(-110\right)=9000484>0\)

Do đó: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-2978-\sqrt{9000484}}{600}\left(loại\right)\\x=\dfrac{-2978+\sqrt{9000484}}{600}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Vận tốc lúc đi là \(\dfrac{-2978+\sqrt{9000484}}{600}\left(\dfrac{km}{h}\right)\)

Độ dài cạnh phần đất còn lại là 16-x(m)

Diện tích phần đất còn lại là 196m² nên ta có:

\(\left(16-x\right)^2=196\)

=>\(\left(x-16\right)^2=196\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-16=14\\x-16=-14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=30\left(loại\right)\\x=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Độ dài bề rộng là 2m

Nhận thấy \(x_0=0\) không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

Giả sử \(x_0< 0\), ta có \(x_0^3-x_0-1=0\) 

\(\Leftrightarrow x_0\left(x_0^2-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x_0\left(x_0-1\right)\left(x_0+1\right)=1\)    (*)

Nếu \(x_0\le-1\) thì VT (*) \(\le0< 1=VP\), do đó (*) vô lý.

Xét \(-1< x_0< 0\) thì \(-1< x_0^3< 0\) và \(0< -x_0< 1\)

Do đó \(VT=x_0^3-x_0< 0+1=1=VP\) nên (*) vô lý.

Vậy điều giả sử ban đầu là sai \(\Rightarrow x_0>0\)

Đặt f(x)=x³-x-1

Vì \(f\left(x\right)=x^3-x-1\)

nên hàm số liên tục trên R

\(f\left(1\right)=1^3-1-1=-1;f\left(2\right)=2^3-2-1=5\)

Vì \(f\left(1\right)\cdot f\left(2\right)< 0\)

nên hàm số f(x)=x³-x-1 có nghiệm trên khoảng (1;2)

=>\(x_0\in\left(1;2\right)\)

=>\(x_0>0\)

\(a.\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2-2y^3=6\\3\left(x+3\right)^2+5y^3=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(x+3\right)^2-6y^3=18\\3\left(x+3\right)^2+5y^3=7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2-2y^3=6\\11y^3=-11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2+2=6\\y^3=-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2=4\\y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x+3=4\\x+3=-4\end{matrix}\right.\\y=-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-7\end{matrix}\right.\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left\{\left(1;-1\right);\left(-7;-1\right)\right\}\)

\(b.\left\{{}\begin{matrix}x^2+2\left(y^2+2y\right)=10\\3x^2-\left(y^2+2y\right)=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2\left(y^2+2y\right)=10\\6x^2-2\left(y^2+2y\right)=18\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2\left(y^2+2y\right)=10\\7x^2=28\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2\left(y^2+2y\right)=10\\x^2=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2+2y\right)=6\\x=\pm2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2+2y-3=0\\x=\pm2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-3\end{matrix}\right.\\x=\pm2\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;1\right);\left(2;-3\right);\left(-2;1\right);\left(-2;-3\right)\right\}\)