Nếu số lớn bớt đi 227 thì được số mới gấp số bé 3 lần 

tổng của số mới với số bé là:  2031 - 227 = 1804

Gọi số mới là x, số bé là y ta có : \(\dfrac{x}{3}\) = \(\dfrac{y}{1}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

 \(\dfrac{x}{3}\) = \(\dfrac{y}{1}\) = \(\dfrac{x+y}{3+1}\) = \(\dfrac{1804}{4}\) = 451

x = 451 . 3 = 1353; y = 451

Số lớn là: 1353 + 227 = 1580

Kết luận số lớn là: 1580; số bé 451 

Gọi thời gian 2 công nhân thứ 1 ; thứ 2 hoàn thành xong công việc một mình là a;b (a;b > 8) (h)

=> 1 giờ mỗi người làm được \(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\) (công việc)

2 người làm chung 8 giờ xong 

=> 1 giờ 2 người làm được : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}\)(công việc) (1)

Lại có người 2 xong trước người 1 làm một minh là 12 giờ

=> b - a = 12 (giờ) (2) 

Từ (1);(2) hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}\\b-a=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+12}=\dfrac{1}{8}\\b=a+12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+12a=8.\left(2a+12\right)\\b=a+12\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-4a-96=0\\b=a+12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a=12\\a=-8\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\\b=a+12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=12\\b=24\end{matrix}\right.\)(t/m)

Vậy....

\(2x^2+3y^2+4z^2=21\Rightarrow2x^2\le21-3.1^2-4.1^2=14\)

\(\Rightarrow x\le\sqrt{7}\)

Tương tự ta có \(y\le\sqrt{5}\) và \(z\le2\)

Do đó:

\(\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\Rightarrow z^2+2\le3z\Rightarrow4z^2+8\le12z\) (1)

\(\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\Rightarrow2x^2+10\le12x\) (2)

\(\left(y-1\right)\left(3y-9\right)\le0\Leftrightarrow3y^2+9\le12y\) (3)

Cộng vế (1);(2) và (3):

\(\Rightarrow12\left(x+y+z\right)\ge2x^2+3y^2+4z^2+27\ge48\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge4\)

\(M_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\)

Theo chứng minh ban đầu ta có: \(z\le2\Rightarrow z-2\le0\)

Theo giả thiết \(z\ge1\Rightarrow z-1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)

Tương tự: \(x< \sqrt{5}< 5\Rightarrow x-5< 0\Rightarrow2x-10< 0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\)

y cũng như vậy

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-5y=1\\x+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-5y+x+5y=1+23\\x+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=24\\x+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\8+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=3\end{matrix}\right.\)