- Gọi \(x_1,x_3,x_5...,x_{999}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu xanh.

\(x_2,x_4,x_6,...x_{1000}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu đỏ.

Giả sử điểm được gắn giá trị \(x_1\)(tạm gọi là \(đ_1\)) xen kẽ với \(đ_{1000},đ_2\) ; \(đ_2\) xen kẽ với \(đ_1,đ_3\) ; ... ; \(đ_{1000}\) xen kẽ với \(đ_{999}\) và \(đ_1\).

Ta có: \(x_3=x_2+x_4\).Mà \(x_2=x_1x_3;x_4=x_3x_5\)

\(\Rightarrow x_3=x_1x_3+x_3x_5\Rightarrow x_1+x_5=1\) (vì \(x_3\ne0\)).

Tương tự \(x_3+x_7=x_5+x_9=...=x_{997}+x_1=x_{999}+x_3=1\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_5\right)+\left(x_3+x_7\right)+...+\left(x_{997}+x_1\right)+\left(x_{999}+x_3\right)=999\)

\(\Rightarrow2\left(x_1+x_3+...+x_{999}\right)=999\Rightarrow x_1+x_3+...+x_{999}=\dfrac{999}{2}\)

Mặt khác: \(x_1=x_{1000}+x_2;x_3=x_2+x_4;...;x_{999}=x_{998}+x_{1000}\)

\(\Rightarrow\left(x_{1000}+x_2\right)+\left(x_2+x_4\right)+...+\left(x_{998}+x_{1000}\right)=x_1+x_3+...+x_{999}\)

\(\Rightarrow2\left(x_2+x_4+...+x_{1000}\right)=\dfrac{999}{2}\)

\(\Rightarrow x_2+x_4+...+x_{1000}=\dfrac{999}{4}\)

Vậy tổng giá trị 1000 điểm trên là \(\dfrac{999}{2}+\dfrac{999}{4}=\dfrac{2997}{4}\)

`(x-6)^4 +(x-8)^4 =16`

`<=> (x-6)^4 +(x-8)^4 =2^4`

`<=> x-6 +x-8 =2`

`<=> 2x - 14=2`

`<=>2x= 16`

`<=>x=8`

Đặt : \(x-7\text{=}y\)

\(\Rightarrow pt\) chỉ còn : 

\(\left(y+1\right)^4+\left(y-1\right)^4\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow y^4+4y^3+6y^2+4y+1+y^4-4y^3+6y^2-4y+1\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2+2\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2+1\text{=}8\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2-7\text{=}0\)

Đặt : \(y^2\text{=}z\ge0\)

\(\Rightarrow z^2+6z-7\text{=}0\)

\(\Leftrightarrow\left(z-1\right)\left(z-7\right)\text{=}0\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}\left\{{}\begin{matrix}-7\\1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}-7\left(loai\right)\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}1\Rightarrow y\text{=}\pm1\)

\(\Leftrightarrow x\text{=}\left\{{}\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(P\text{=}\dfrac{5x-9}{x-3}\text{=}\dfrac{5x-15+6}{x-3}\)

\(\Rightarrow P\text{=}\dfrac{5x-15}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}\)

\(\Rightarrow P\text{=}\dfrac{5\left(x-3\right)}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}\text{=}\dfrac{6}{x-3}+5\)

\(\Rightarrow P_{max}\Leftrightarrow x-3\text{=}1\Leftrightarrow x\text{=}4\)

\(\Rightarrow P_{max}\text{=}9\Leftrightarrow x\text{=}4\)

\(\Rightarrow P_{min}\Leftrightarrow x-3\text{=}-1\Leftrightarrow x\text{=}2\)

\(\Rightarrow P_{min}\text{=}-1\Leftrightarrow x\text{=}2\)

Theo đề ra, ta có:

Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A

Mà ta có công thức tính chu vi hình tròn là: Bán kính \(\times2\times3,14\)

\(\Rightarrow\) Chu vi của hình tròn B cũng gấp 3 lần chu vi hình tròn A

Mà mỗi khi lăn được một vòng, hình tròn A lại đi được một quãng đường bằng đúng chu vi của nó

\(\Rightarrow\) Để lăn xung quanh hình tròn B, hình tròn A phải thực hiện 3 vòng quay để quay lại điểm xuất phát.

ĐKXĐ : \(x\inℝ\)

Ta có : \(\dfrac{x^2+4x+5}{x^2-x+5}-\dfrac{3x}{x^2-3x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{5x}{x^2-x+5}-\dfrac{3x}{x^2-3x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(\dfrac{5}{x^2-x+5}-\dfrac{3}{x^2-3x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\dfrac{5}{x^2-x+5}=\dfrac{3}{x^2-3x+5}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) <=> 5(x² - 3x + 5) = 3(x² - x + 5)

<=> 2x² - 12x + 10 = 0

<=> x² - 6x + 5 = 0

<=> (x - 1)(x - 5) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{0;1;5\right\}\)

`@` Thay `m=3` vào ptr có: `x^2-3x+3-1=0<=>x^2-3x+2=0`

      Ptr có: `a+b+c=1-3+2=0=>x_1 =1;x_2=-2`

`@` Ptr có: `\Delta=(-m)^2-4m+4=m^2-4m+4=(m-2)^2 >= 0` (Luôn đúng `AA m`)

   `=> AA m` ptr luôn có nghiệm.

______________________________

    `x^2-2mx+m=7<=>x^2-2mx+m-7=0`

Ptr có: `\Delta'=(-m)^2-m+7=m^2-m+7=(m-1/2)^2+27/4 > 0 AA m`

  `=>` Ptr có `2` nghiệm pb `AA m`