a) \(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}x+4\left(d_1\right)\\y=-x+4\left(d_2\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi \(\alpha=\left(d_1;ox\right)\) là góc tạo bởi đường thẳng d₁ và ox

\(\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\alpha=27^o\)

Gọi \(\beta=\left(d_2;ox\right)\) là góc tạo bởi đường thẳng d₂ và ox

\(\Rightarrow tan\beta=-1\Rightarrow\beta=-45^o\)

b) Hệ số góc của đường thẳng \(d_1\) là \(k_1=tan\alpha=\dfrac{1}{2}\)

 Hệ số góc của đường thẳng \(d_2\) là \(k_2=tan\beta=-1\)

Góc tạo bởi 2 đường thẳng \(d_1;d_2\) là \(\varphi\)

\(tan\varphi=\left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1.k_2}\right|=\left|\dfrac{\dfrac{1}{2}-\left(-1\right)}{1+\dfrac{1}{2}.\left(-1\right)}\right|=3\) \(\)

\(\Rightarrow\varphi=72^o\)

a) Để xác định góc giữa đường thẳng d1 và trục Ox, ta cần tìm góc giữa đường thẳng d1 và một đường thẳng song song với trục Ox. Đường thẳng d1 có hệ số góc là 1/2, vì vậy góc giữa d1 và trục Ox là góc có tang của 1/2. Ta có: tan(θ) = 1/2 θ = arctan(1/2) Sử dụng máy tính, ta tính được θ ≈ 26.57°. Do đó, góc giữa d1 và trục Ox là khoảng 26.57° (làm tròn đến độ). Tương tự, để xác định góc giữa đường thẳng d2 và trục Ox, ta cần tìm góc giữa đường thẳng d2 và một đường thẳng song song với trục Ox. Đường thẳng d2 có hệ số góc là -1, vì vậy góc giữa d2 và trục Ox là góc có tang của -1. Ta có: tan(θ) = -1 θ = arctan(-1) Sử dụng máy tính, ta tính được θ ≈ -45°. Tuy nhiên, để đảm bảo góc nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, ta có thể thay thế θ bằng θ + 180°. Do đó, góc giữa d2 và trục Ox là khoảng 135° (làm tròn đến độ). b) Để xác định góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2, ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng này. Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng. Đường thẳng d1 có hệ số góc là 1/2 và đường thẳng d2 có hệ số góc là -1. Ta có: tan(θ) = (1/2 - (-1))/(1 + 1/2) = 3/5 Sử dụng máy tính, ta tính được θ ≈ 30.96°. Do đó, góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là khoảng 30.96° (làm tròn đến độ). c) Giao điểm của đường thẳng d1 với trục hoành là khi y = 0. Thay y = 0 vào phương trình của d1, ta có: 0 = 1/2x + 4 1/2x = -4 x = -8 Giao điểm A có tọa độ (-8, 0). Giao điểm của đường thẳng d2 với trục hoành là khi y = 0. Thay y = 0 vào phương trình của d2, ta có: 0 = -x + 4 x = 4 Giao điểm B có tọa độ (4, 0). Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là điểm có cùng tọa độ x và y. Thay x = -8 vào phương trình của d1 hoặc thay x = 4 vào phương trình của d2, ta có: y = 1/2(-8) + 4 = 0 y = -4 + 4 = 0 Giao điểm C có tọa độ (-8, 0). d) Để tính các góc của tam giác ABC, ta có: Góc A = góc giữa đường thẳng d1 và trục Ox = 26.57° (đã tính ở câu a) Góc B = góc giữa đường thẳng d2 và trục Ox = 135° (đã tính ở câu a) Góc C = góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 = 30.96° (đã tính ở câu b) Chu vi tam giác ABC có thể tính bằng cách sử dụng công thức chu vi tam giác: Chu vi ABC = AB + BC + AC Để tính diện tích tam giác ABC, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác: Diện tích ABC = 1/2 * AB * BC * sin(C) Tuy nhiên, để tính chu vi và diện tích tam giác ABC, cần biết độ dài các cạnh AB, BC và AC. Trong câu hỏi của bạn, không có thông tin về độ dài các cạnh này, do đó không thể tính được chu vi và diện tích tam giác ABC.  

a) \(\sqrt[]{x^2-4x+4}=x+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{\left(x-2\right)^2}=x+3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2\right|=x+3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=x+3\\x-2=-\left(x+3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0x=5\left(loại\right)\\x-2=-x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

b) \(2x^2-\sqrt[]{9x^2-6x+1}=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\sqrt[]{\left(3x-1\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left|3x-1\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-1\right|=2x^2-5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1=2x^2-5\\3x-1=-2x^2+5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2-3x-4=0\left(1\right)\\2x^2+3x-6=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải pt (1)

\(\Delta=9+32=41>0\)

Pt \(\left(1\right)\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt[]{41}}{4}\)

Giải pt (2)

\(\Delta=9+48=57>0\)

Pt \(\left(2\right)\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt[]{57}}{4}\)

Vậy nghiệm pt là \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3\pm\sqrt[]{41}}{4}\\x=\dfrac{-3\pm\sqrt[]{57}}{4}\end{matrix}\right.\)

 Ta đặt \(f\left(n\right)=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}\) (\(n\) dấu căn)

 Xét phương trình \(x^2-x-4=0\), pt này có nghiệm \(t=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}< 3\). Ta sẽ chứng minh \(f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)

 Dễ thấy \(f\left(1\right)< t\). Giả sử \(f\left(n\right)< t\). Khi đó:

 \(f\left(n+1\right)=\sqrt{4+f\left(n\right)}< \sqrt{4+t}\).

 Mà \(4+t=t^2\)  (do \(t\) là nghiệm của pt \(x^2-x-4=0\)) nên suy ra \(f\left(n+1\right)< \sqrt{4+t}=\sqrt{t^2}=t\).

 Vậy \(f\left(n+1\right)< t\). Theo nguyên lí quy nạp \(\Rightarrow f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)

 Mà \(t< 3\) \(\Rightarrow f\left(n\right)< 3\), \(\forall n\inℕ^∗\). 

 Vậy \(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}< 3\) 

 

 Đặt \(MB=m>0\). \(\Rightarrow MQ=NP=\dfrac{m}{\sqrt{3}}\)

 Đặt \(AB=b>m\). Khi đó \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\) 

\(\Rightarrow MN=\dfrac{AM.BC}{AB}=\dfrac{\left(b-m\right).a}{b}=\left(1-\dfrac{m}{b}\right).a\) \(=a-\dfrac{a}{b}.m\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=MN.NP=\dfrac{1}{\sqrt{3}}m\left(a-\dfrac{a}{b}.m\right)\)

\(=\dfrac{a}{b\sqrt{3}}\left(-m^2+bm\right)\)

 \(=\dfrac{a}{b\sqrt{3}}\left(-m^2+2m.\dfrac{b}{2}-\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}\right)\) 

\(=\dfrac{a}{b\sqrt{3}}\left[-\left(m-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{b^2}{4}\right]\)

\(=-\dfrac{a}{\sqrt{3}}\left(m-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{ab}{4\sqrt{3}}\) \(\le\dfrac{ab}{4\sqrt{3}}\), suy ra \(S_{MNPQ}\le\dfrac{ab}{4\sqrt{3}}\)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\dfrac{b}{2}\) hay M là trung điểm của đoạn AB.

 Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm AB.

 

a) \(P=\dfrac{x^2-\sqrt[]{x}}{x+\sqrt[]{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}}+\dfrac{2\left(x+\sqrt[]{x}-2\right)}{\sqrt[]{x}-1}\)

Điều kiện xác định \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\sqrt[]{x}-1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\sqrt[]{x}\left[\left(\sqrt[]{x}\right)^3-1\right]}{x+\sqrt[]{x}+1}-\dfrac{\sqrt[]{x}\left(2\sqrt[]{x}+1\right)}{\sqrt[]{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt[]{x}-1\right)\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\sqrt[]{x}-1}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-1\right)\left(x+\sqrt[]{x}+1\right)}{x+\sqrt[]{x}+1}-\left(2\sqrt[]{x}+1\right)+2\left(\sqrt[]{x}+2\right)\)

\(\Rightarrow P=\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-1\right)-\left(2\sqrt[]{x}+1\right)+2\left(\sqrt[]{x}+2\right)\)

\(\Rightarrow P=x-\sqrt[]{x}-2\sqrt[]{x}-1+2\sqrt[]{x}+4\)

\(\Rightarrow P=x-\sqrt[]{x}+3\)

b) \(A=\dfrac{P}{2012\sqrt[]{x}}=\dfrac{x-\sqrt[]{x}+3}{2012\sqrt[]{x}}\)\(\)

\(=\dfrac{x-\sqrt[]{x}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+3}{2012\sqrt[]{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}}{2012\sqrt[]{x}}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2}{2012\sqrt[]{x}}+\dfrac{\dfrac{11}{4}}{2012\sqrt[]{x}}=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2}{2012\sqrt[]{x}}+\dfrac{11}{4.2012\sqrt[]{x}}\)

Ta lại có  \(\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2}{2012\sqrt[]{x}}\ge0,\forall x\ne0\)

\(\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}>0\Rightarrow\dfrac{11}{4.2012\sqrt[]{x}}\ge\dfrac{11}{4.2012}=\dfrac{11}{8048}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2}{2012\sqrt[]{x}}+\dfrac{11}{4.2012\sqrt[]{x}}\ge\dfrac{11}{8048}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(GTNN\left(A\right)=\dfrac{11}{8048}\left(tạix=1\right)\)

\(y=3x-2k\left(d_1\right)\)

\(y=\left(-2m+1\right)x+2k-4\left(d_2\right)\)

\(d_1\equiv d_2\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-2m+1=3\\-2k=2k-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m=-2\\4k=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\k=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\k=1\end{matrix}\right.\) thỏa đề bài

Bài 1 :

b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=2\\-4x+6y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-6y=4\\-4x+6y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0x+0y=4\) (vô lý)

\(\Rightarrow\) HPT vô nghiệm

Bài 2 :

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-ay=b\\ax+by=1\end{matrix}\right.\)

Khi \(x=1;y=2\)

\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2.1-a.2=b\\a.1+b.2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=2\\a+2b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b=4\\a+2b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\2b=1-a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\2b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

Bạn tự vẽ đồ thị nhé.

ĐKXĐ : \(x\ge5\)

Ta có \(x-3\sqrt{x}+4=2\sqrt{x-5}\)

\(\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}=2\left(\sqrt{x-5}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)=2.\dfrac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=0\\\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\end{matrix}\right.\)

Với \(\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

Với \(\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\Leftrightarrow\sqrt{x}.\sqrt{x-5}=6\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\left(tm\right)\\x=-4\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{9\right\}\)