Vận tốc dòng nước là:

\(30-27=3\) (km/h)

Vận tốc con thuyền khi con thuyền ngược dòng từ B về A là:

\(27-3=24\) (km/h)

Thời gian con thuyền ngược dòng từ B về  A là:

\(120:24=5\) (giờ)

Các số lẻ ko chia hết cho 3 có dạng \(6k+1\) hoặc \(6k+5\)

TH1: m, n cùng có dạng \(6k+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=6a+1\\n=6b+1\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên

\(\Rightarrow n^2-m^2=\left(6a+1\right)^2-\left(6b+1\right)^2=12\left(a-b\right)\left(3\left(a+b\right)+1\right)\)

- Với a;b cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow a-b\) chẵn \(\Rightarrow a-b\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow12\left(a-b\right)⋮24\)

\(\Rightarrow n^2-m^2⋮24\)

- Với a;b khác tính chẵn lẻ \(\Rightarrow3\left(a+b\right)\) lẻ \(\Rightarrow3\left(a+b\right)+1\) chẵn \(\Rightarrow12\left(3\left(a+b\right)+1\right)⋮24\)

\(\Rightarrow n^2-m^2⋮24\)

TH2: n;m cùng dạng \(6k+5\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}n=6a+5\\m=6b+5\end{matrix}\right.\)

\(n^2-m^2=12\left(a-b\right)\left[3\left(a+b\right)+5\right]\)

Tương tự như trên:

a, b cùng chẵn lẻ thì \(a-b\) chẵn; a, b khác tính chẵn lẻ thì \(3\left(a+b\right)+5\) chẵn

TH3: 1 số có dạng \(6k+1\), 1 số có dạng \(6k+5\)

\(\Rightarrow\left|n^2-m^2\right|=\left|\left(6a+1\right)^2-\left(6b+5\right)^2\right|=12\left|\left(a-b\right)\left[3\left(a+b\right)+1\right]-2\left(2b+1\right)\right|\)

a,b cùng chẵn lẻ thì \(a-b\) chẵn; a,b khác tính chẵn lẻ thì \(3\left(a+b\right)+1\) chẵn nên \(\left(a-b\right)\left[3\left(a+b\right)+1\right]-2\left(2b+1\right)\) luôn chẵn

a: Đề sai rồi bạn

b: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

=>\(n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮6\)

=>\(n^5-n⋮6\)

Vì 5 là số nguyên tố

nên \(n^5-n⋮5\)

Ta có: \(n^5-n⋮5;n^5-n⋮6\)

mà ƯCLN(5;6)=1

nên \(n^5-n⋮5\cdot6\)

=>\(n^5-n⋮30\)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó; ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HA}{AC}\)

\(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HA}{AC}\)

=>\(\dfrac{BA}{HA}=\dfrac{BC}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

\(\dfrac{BA}{HA}=\dfrac{BC}{AC}\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔABC~ΔHAC

b: \(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(HB=\dfrac{BA^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔACB~ΔHCA

cộng cả nhé

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)(1)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Xét ΔBHA có BM là phân giác

nên \(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{MH}{MA}\left(2\right)\)

Xét ΔBAC có BN là phân giác

nên \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{BA}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{MH}{MA}=\dfrac{NA}{NC}\)

=>\(MH\cdot NC=NA\cdot MA\)

Nửa chu vi mảnh vườn là 46:2=23(m)

Gọi chiều rộng mảnh vườn là x(m)

(ĐK: x>0)

Chiều dài mảnh vườn là 23-x(m)

Chiều rộng sau khi tăng thêm 3m là x+3(m)

Chiều dài sau khi tăng thêm 2m là 23-x+2=25-x(m)

Diện tích tăng thêm 67m² nên ta có:
(x+3)(25-x)-x(23-x)=67

=>\(25x-x^2+75-3x-23x+x^2=67\)

=>-x+75=67

=>x=75-67=8(nhận)

vậy: Chiều rộng là 8m

Chiều dài là 23-8=15m