ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne9\)

a) \(P=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}-\frac{3\left(3\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x-3}\right)}\)

\(=\frac{\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+3\left(3\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6+2x+2\sqrt{x}-3\sqrt{x}-3-9\sqrt{x}+15}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{5x-17\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{5x-15\sqrt{x}-2\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\left(5\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)

b) Ta có: \(x=4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}+1\)

Do đó: \(P=\frac{5\left(\sqrt{3}+1\right)-2}{\left(\sqrt{3}+1\right)+1}=\frac{5\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(5\sqrt{3}+3\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=7\sqrt{3}-9\)

c) Ta có \(P=\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\frac{5\sqrt{x}+5-7}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=5-\frac{7}{\sqrt{x}+1}\)

Vì \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}>0\)nên \(P\)có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}\)lớn nhất

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\)nhỏ nhất \(\Leftrightarrow x=0\)

Khi đó min_P=5-7=-2

Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x\le2\\x\ge\frac{2}{3}\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2-x}=a\ge0\\\sqrt{3x-2}=b\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a^2+b^2=4\\a^2+b^2=2x\end{cases}}\) thế vào PT bao đầu thì ta có hệ

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a^2+b^2=4\\\left(a^2+b^2+2\right)a+\left(a^2+b^2-2\right)b=4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3a^2+b^2-\left(\left(a^2+b^2+2\right)a+\left(a^2+b^2-2\right)b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2+b-a\right)=0\)

Dễ thấy với \(\frac{2}{3}\le x\le2\) thì \(a^2+b^2+b-a>0\)

\(\Rightarrow a+b=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{3x-2}=2\)

(Bình phương 2 vế rút gọn ta được)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(3x-2\right)}=2-x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-x}\left(\sqrt{3x-2}-\sqrt{2-x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2-x}=\sqrt{3x-2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\x=1\end{cases}}\)

\(\left(x+1\right)\sqrt{2-x}+\left(x-1\right)\sqrt{3x-2}=2\)

Ta có :\(x\in\orbr{\frac{2}{3};\infty}\)

\(\left(x+1\right)\sqrt{2}-x+\left(x-1\right)\sqrt{3x-2}=x\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x}-x+\sqrt{2}\)

\(x\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x}-x+\sqrt{2}=2\)

\(x\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x}-x+\sqrt{2}-2=0\)

\(\left(x-1\right)\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{2}-1\right)x+\sqrt{2}-2=0\)

Không tồn tại nghiệm số thực .

\(x\in\theta\)

Đặt \(A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)

Ta có : \(\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}=\frac{a}{\sqrt{\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}=\frac{a^2}{a\sqrt{\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\)

\(=\frac{a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\)

Theo BĐT Cô - si ta có :

\(0< \sqrt[3]{2a^2.\left(3-a^2\right).\left(3-a^2\right)}\le\frac{2a^2+3-a^2+3-a^2}{3}=2\)

\(\Leftrightarrow0< 2a^2.\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)\le8\)

\(\Leftrightarrow0< \sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}\le2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\ge\frac{a^2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{a^2}{2}\)

Hay : \(\frac{a}{b^2+c^2}\ge\frac{a^2}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\frac{b}{c^2+a^2}\ge\frac{b^2}{2};\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{c^2}{2}\)

Do đó : \(A\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(Min\) \(A=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)

Gọi biểu thức là N

Dự đoán \(MinN=\frac{3}{2}\)khi a = b = c = 1, ta dùng UCT giải quyết bài toán

Ta viết lại \(N=\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\)(do \(a^2+b^2+c^2=3\)theo giả thiết)

Xét bất đẳng thức phụ \(\frac{a}{3-a^2}\ge\frac{a^2}{2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{2\left(3-a^2\right)}\ge0\)(Đúng vì \(3-a^2=b^2+c^2>0\)và a > 0)

Tương tự: \(\frac{b}{3-b^2}\ge\frac{b^2}{2}\)(1); \(\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{c^2}{2}\)(2)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (1) và (2), ta được: \(\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

lon ok

Yes.

a) \(3x^2-7x+2=0\Leftrightarrow\left(3x^2-6x\right)-\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\x=2\end{cases}}\)Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{\frac{1}{3};2\right\}\)

b) \(x^4-5x+4=0\Leftrightarrow\left(x^4-x\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^3+x^2+x-4=0\end{cases}}\)Xét phương trình: \(x^3+x^2+x-4=0\)

Đặt \(x=y-\frac{1}{3}\)thì phương trình trở thành \(y^3+\frac{18}{27}y-\frac{115}{27}=0\)có các hệ số \(a=\frac{18}{27},b=\frac{-115}{27}\)

\(\Rightarrow D=\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3=\left(\frac{\frac{-115}{27}}{2}\right)^2+\left(\frac{\frac{18}{27}}{3}\right)^3=\frac{491}{108}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}-\frac{1}{3}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{1;\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}-\frac{1}{3}\right\}\)

c) \(\hept{\begin{cases}\sqrt{5}x-2y=7\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{2\sqrt{5}}{5}y=\frac{7\sqrt{5}}{5}\left(1\right)\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2), ta được: \(\frac{3\sqrt{5}}{5}y=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow y=-1\). Từ đó tìm được \(x=\sqrt{5}\)

Vậy hệ có 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{5};-1\right)\)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x^2+2x\ge0\\2x-1\ge0\\3x^2+4x+1\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+2x}=a;\sqrt{2x-1}=b\left(a,b\ge0\right)\)

Khi đó phương trình trở thành

 \(a+b=\sqrt{3a^2-b^2}\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=3a^2-b^2\)

\(-2a^2+2ab+2b^2=0\Leftrightarrow-a^2+ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}b\\a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}b\end{cases}}\)

TH phía dưới loại vì a, b cùng dấu.

Ta xét \(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\sqrt{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-\left(3+\sqrt{5}\right)x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(1+\sqrt{5}\right)x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(tmđk\right)\)

Giả sử x là số hữu tỷ thì ta có

\(x=\frac{m}{n}\left(\left(m,n\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)

Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên nên m² - n² \(⋮\)m

\(\Rightarrow\)n² \(⋮\)m 

Mà n,m nguyên tố cùng nhau nên

m = \(\pm\)1

Tương tự ta cũng có

n =\(\pm\)1

\(\Rightarrow\)x = \(\pm\)1

Trái giả thuyết.

Vậy x phải là số vô tỷ.

Ta có: \(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ.

Ta có: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\)nên là số nguyên

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số hữu tỷ.

Mà \(x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ nên

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)

là số vô tỷ

Hình vẽ không được đẹp cho lắm :))

Từ kẻ đường thẳng tạo với cạnh AD một góc bằng 15 độ, cắt cạnh CD tại K. Từ đó dễ dàng suy ra góc KAN = 90 độ

Từ A lại kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại H.

Xét tam giác AKD và tam giác AMB có AB = AD , góc BAM = góc KAD = 15 độ , góc ABM = góc ADK

=> tam giác AKD = tam giác AMB (g.c.g) => AM = AK

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông, ta có : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AH^2}\)

Mà : \(AH=sin\widehat{ADH}.AD=sin60^o.AB=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{4}{3AB^2}\)

Vậy \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{4}{3AB^2}\)

BH/CH=(BH.BC)/(CH.BC)

áp dụng hệ thưcs lượng trong tam giác vuông

BH.BC= AB^2

CH.BC=AC^2

Suy ra BH/CH=AB^2/AC^2

hello bạn

12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)

Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)

=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)

Khi đó 

\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1

13.  Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)

=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)

=> \(a+b+c\ge6\)

Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)

Cộng 3 BT trên ta có

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)

Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)

=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)

Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)

<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)

<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )

=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)

=> \(P\ge2\)

Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2

Lưu ý : Chỗ .... là tương tự