Cho tam giác ABC nhọn AB<AC nội tiếp (O). 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N ( M thuộc cung nhỏ AB ) . Gọi I là trung điểm của BC , MI cắt (O) tại K . Chứng minh : AK vuông góc với HN
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
gọi các điểm như trên hình
I là giao 2 đường tiếp tuyến HI và AC=>OI là phân giác góc EOK (1) và IE=IK
C là giao 2 tiếp tuyến AC và BC => OC là phân giác góc KOD (2) và KC=DC
(1) và (2) => tam giác IOC vuông tại O, có đường cao OK =>OK2=IK.KC <=> OK2=IE.DC
CM tương tự ta được OJ2 = EH.BD
mà \(\text{OK=OJ=r}\)
=>\(\text{IE.DC=EH.BD}\)
=>\(\frac{EH}{EI}=\frac{CD}{BD}\)
Ta có : \(\text{HI // BC}\)
=>\(\frac{EI}{MC}=\frac{AI}{AC}=\frac{AH}{AB}=\frac{EH}{BM}\)
=> \(\frac{BM}{MC}=\frac{EH}{EI}\)
=>\(\frac{BM}{CM}=\frac{EH}{EI}=\frac{CD}{BD}\)
=> \(1+\frac{BM}{CM}=1+\frac{CD}{BD}\)\(\Leftrightarrow\frac{BC}{CM}=\frac{BC}{BD}\Rightarrow CM=BD\)
Với mọi x thỏa mãn: f( a + b ) = f (ab)
=>f( 0 ) = f( -1/2 . 0 ) = f ( -1/2 + 0 ) = f( -1/2 ) = -1/2
=> f ( 2006 ) = f ( 2006 + 0 ) = f(2006 . 0 ) = f(0 ) = -1/2
Bạn tham khảo các câu trả lời của mọi người tại đây:
Câu hỏi của zZz Cool Kid zZz - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Và đây củng chính là Moldova TST 2005
Từ giả thiết ta có: (a+1)(b+1)(c+1) >=0 và (1-a)(1-b)(1-c) >=0
=> (a+1)(b+1)(c+1) +(1-a)(1-b)(1-c) >=0
Rút gọn ta có: -2((ab+bc+ca) =<2
Mặt khác (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0
=> a2+b2+c2=-2(ab+bc+ca)
=> a2+b2+c2 =<2
Dấu "=" xảy ra <=> a=0; b=1; c=-1
ta có
\(a^4b^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)\(=>\frac{a}{a^4+b^2}\le\frac{a}{2a^2b}=\frac{1}{2ab}\)
tương tự ta có
\(\frac{b}{b^4+a^2}\le\frac{1}{2ab}\)
\(=>\frac{a}{a^4+b^2}+\frac{b}{b^4+a^2}\le\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}=\frac{1}{ab}\)
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^4=b^2\\a^2=b^4\end{cases}=>a^2=b^2=1}\)
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp.
Ta có ∠AEH=∠AFH=90o⇒∠AEH=∠AFH=90o⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính AH
⇒⇒ A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
⇒AEHF⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Ta có ∠BEC=∠BFC=90o⇒∠BEC=∠BFC=90o⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I. Vẽ tiếp tuyến ID với (O)(O)(D là tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh ID2=IB.ICID2=IB.IC.
Xét ΔIBDΔIBD và ΔIDCΔIDC có:
∠I∠I chung
∠IDB=∠ICD∠IDB=∠ICD (ID là tiếp tuyến của (O)(O))
⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).
c) DE, DF cắt đường tròn (O)(O) tại M và N. Chứng minh NM // EF.
Xét ΔIBEΔIBE và ΔIFCΔIFC có:
∠I∠I chung
∠IEB=∠ICF∠IEB=∠ICF (BCEF là tứ giác nội tiếp)
⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF (kết hợp b)
⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID
Xét ΔIDFΔIDF và ΔIEDΔIED có:
∠I∠I chung
IDIE=IFID(cmt)IDIE=IFID(cmt)
⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED (2 góc tương ứng)
Mặt khác ∠IDF=∠NMD∠IDF=∠NMD (ID là tiếp tuyến của (O)(O)) ⇒∠IED=∠NMD⇒∠IED=∠NMD (tc)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒⇒ NM // EF.
Cho tam giác ABC nhọn AB
CHÚC BẠN HỌC TỐT