Gọi giao điểm của AJ với BC , BK với AC, CL với AB lần lượt là M, N, P

+) Từ B, C kẻ đường vuông góc với AM  lần lượt tại Q, R

Xét tam giác ADJ và tam giác CAR

có: \(\widehat{J_1}=\widehat{R_1}\left(=90^o\right)\)

AD= AC ( ACED là hình vuông)

\(\widehat{A_2}=\widehat{D_1}\)( cùng phụ góc \(\widehat{A_1}\))

=> \(\Delta ADJ=\Delta CAR\)( cạnh huyền góc nhọn)

=> AJ=CR (1)

Chứng minh tương tự : \(\Delta AIJ=\Delta BAQ\)

=> AJ= BQ (2)

Từ (1), (2) => CR=BQ

Ta  lại có: BQ//CR ( cùng vuông góc với AM)

=> \(\frac{CM}{BM}=\frac{BQ}{CR}=1\) ( vì CR =BQ, chứng minh trên)

=> CM=BM

=> M là trung điểm BC

+) Chứng minh tương tự ta được: N là trung điểm AC và P là trung điểm AB

=> AM, CP, BN là 3 đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy

=> AJ, BK; CL đồng quy

#)Tham khảo trong hai link này nhé :

Chứng minh: $\frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị

Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1 ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị

P/s : Vô thống kê hỏi đáp ms dùng đc link nhé !

Ta có: \(a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow0\le a^4;b^4;c^4\le3\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt[4]{3}\)

=> \(ab,bc,ac\le\sqrt[4]{9}\)

Xét: \(\frac{18}{4-x}\le x^2+5,\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)

<=> \(18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)

<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)luôn đúng với \(\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)

Như vậy:

\(\frac{18}{4-ab}+\frac{18}{4-bc}+\frac{18}{4-ac}\le\left(ab\right)^2+5+\left(bc\right)^2+5+\left(ac\right)^2+5\)

\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+15\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+15\)

\(=a^4+b^4+c^4+15=18\)

=> \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\le1\)

"=" xảy ra <=> a=b=c=1

câu hỏi hay chắc cần dùng đến IQ😀

Ta có: \(2^6< 2^6+2^x+2^{3y}=A^2< 10000\)

=> \(8^2< 2^6+2^x+2^{3y}=A^2< 100^2\)

Vì A thuộc N.

Xét trường hợp: \(2^6+2^x+2^{3y}=9^2\)

=> \(2^x+2^{3y}=17\)là số lẻ

Do x, y thuộc N nên xảy  ra hai trường hợp hoặc là x=0, hoặc là y=0

+) Với x=0

ta có: \(1+2^{3y}=17\Leftrightarrow2^{3y}=16=2^4\Leftrightarrow3y=4\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}\)( loại vì y là số tự nhiên)

+) Với y=0

ta có: \(2^x+1=17\Leftrightarrow2^x=16=2^4\Leftrightarrow x=4\)(tm)

Khi đó x+y=4

Mà đề bài bảo tìm giá trị nhỏ nhất của x+y, x, y thuộc N

Xét các trường hợp : 

+) y=0, x<4 loại

+) y=1, x<3 loại

+) y=2, x=0 => \(2^6+2^0+2^6=129\)( loại vì ko p là số chính phương)

 +) y=2, x=1 => \(2^6+2+2^6=130\)(loại)

 +) y=3, x=0 => \(2^6+2^0+2^9=577\) ( loại)

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là x+y=4

Ta có \(xyz=3^{2010}\)

Do 3 là số nguyên tố ,x,y,z là số tự nhiên

=> x,y,z có dạng \(3^n\)

Đặt \(x=3^a;y=3^b;z=3^c\)

=> \(\hept{\begin{cases}3^{a+b+c}=3^{2010}\\3^a\le3^b\le3^c< 3^a+3^b\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}a+b+c=2010\\3^a\le3^b\le3^c< 3^a+3^b\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ  (2)

\(3^b\le3^c\)=> \(b\le c\)(*)

\(3^c< 3^b+3^a< 2.3^b< 3.3^b=3^{b+1}\)=> \(c< b+1\)(**)

Từ (*),(**)

=> \(b=c\)

Khi đó 

\(a+2b=2010\)Do \(b\ge a\)=> \(a\le670\)

=> a chẵn 

Đặt \(a=2k\)(k là số tự nhiên)=> \(k\le335\)

=> \(b=1005-k\)

Vậy \(x=3^{2k},y=z=3^{1005-k}\)với \(k\in N;k\le335\)

\(\)

hay

Ta có: 

\(S=3.2^0-3^1+3.2^1-3^2+3.2^2+3.2^3-3^3+3.2^4-3^4+...-3^7+3.2^{10}+3.2^{11}-3^8+3.2^{12}\)

\(=3.\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{10}+2^{11}+2^{12}\right)-\left(3^1+3^2+3^3+...+3^7+3^8\right)\)

Đặt: \(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{11}+2^{12}\)

=> \(2.A=2^1+2^2+2^3+...+2^{12}+2^{13}\)

=> \(2.A-A=2^{13}-2^0\)

\(\Rightarrow A=2^{13}-1=8191\)

Đặt: \(B=3^1+3^2+3^3+...+3^8\)

 \(\Rightarrow3.B=3^2+3^3+3^4+...+3^9\)

=> \(3B-B=3^9-3^1=19680\)

=> \(2B=19680\Rightarrow B=9840\)

=> S=3.A-B=3.8191-9840=14733

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :

\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)

\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)

Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :

\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)

                                  \(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)

                                   \(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)

Tương tự , chứng minh đc :

\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)

          \(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)

           \(\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1

Ta có

 \(VT=a^3\left(b-c\right)+\left(b^3c-bc^3\right)-a\left(b^3-c^3\right)\)

        \(=\left(b-c\right)\left(a^3+bc\left(b+c\right)-a\left(b^2+bc+c^2\right)\right)\)

        \(=\left(b-c\right)\left[\left(a^3-ab^2\right)+\left(b^2c-abc\right)+\left(bc^2-ac^2\right)\right]\)

        \(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[a\left(a+b\right)-bc-c^2\right]\)

       \(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)

TH1   Nếu a,b,c chia 3 dư 0,1,2 =>\(a+b+c⋮3\)

TH2   Trừ TH trên 

Theo nguyên lí diricle luôn có 2 trong 3 số trên chia 3 cùng 1 số dư

Hay a-b hoặc b-c hoặc a-c chia hết cho 3

Từ 2 trường hợp 

=> \(VT⋮3\)

Mà VP chia 3 dư 1 do 2020 chia 3 dư 1

=> không có giá trị nào của a,b,c nguyên thỏa mãn đề bài

Vậy không có gia trị nào của a,b,c nguyên thỏa mãn đề bài

mk ko biết

giai lai

\(506^{80}\equiv2^{80}\equiv0\left(\text{mod }4\right)\)

Đặt \(506^{80}=4k\left(k\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow3^{506^{80}}=3^{4k}\)

Ta có:

\(3^{4k}⋮3\left(k\inℕ^∗\right)\Rightarrow3^{4k}-6⋮3\)(1)

\(3^4\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3^{4k}\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3^{4k}-1-5⋮5\)

\(\Rightarrow3^{4k}-6⋮5\)(2)

Từ (1) và (2) => 3^4k chia hết cho 15 vì (3,5)=1

Vậy...

nhầm dòng gần cuối 3^4k-6 :((