có bạn nào giải hộ mik nhé!

Ta có tính chất: Hiệu của một số với tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

( xem cách chứng minh tại link Câu hỏi của Nguyễn Phương Chi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath )

Do đó ta có:

 \(A-S\left(A\right)⋮9\)

\(S\left(A\right)-S\left(S\left(A\right)\right)⋮9\)

\(S\left(S\left(A\right)\right)-S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)⋮9\)

=> Cộng lại và triệt tiêu ta có: \(A-S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)⋮9\)(1)

Ta có: \(A=2^{100}=2.2^{99}=2.8^{33}\)=> Số chữ số của A < 34

=> \(S\left(A\right)< 34.9=306\)

=> \(S\left(S\left(A\right)\right)< 3.9=27\)

=> \(S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)< 2.9=18\) (2)

Mặt khác \(A=2^{100}=2.2^{99}=2.8^{33}\equiv2\left(-1\right)^{33}\equiv-2\equiv7\left(mod9\right)\)

=> \(A-7⋮9\)(3)

Từ (1); (2); (3) => S(S(S(A))) có thể bằng 7 hoặc 16

=> S(S(S(S(A)))) = 7

:)))) . Bài này thú vị quá! <3

+) Ta có: \(\widehat{BAI}=\widehat{DAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}\)( AI là phân giác \(\widehat{BAD}\))

\(\widehat{ADI}=\widehat{CDI}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}\)(1)

=> \(\widehat{ADI}+\widehat{DAI}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}+\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ADC}+\widehat{BAD}\right)=\frac{1}{2}.180^o=90^o\)

Xét \(\Delta\)AID có: \(\widehat{ADI}+\widehat{DAI}=90^o\)=> \(\widehat{AID}=90^o\)

=> \(\Delta\) AID vuông tại I; có H là trung điểm AD => \(HI=\frac{1}{2}AD=AI=ID\Rightarrow HI=\frac{10}{2}=5cm\)

Tương tự ta chứng minh được: 

\(\Delta\)BJC vuông tại J; có K là trung điểm BC => \(JK=\frac{1}{2}AC=BK=KC\Rightarrow JK=\frac{12}{2}=6cm\)

+) Xét hình thang ABCD có: HK là đường trung bình

=> HK//DC  (i)

và \(HK=\frac{1}{2}\left(AB+DC\right)=15\left(cm\right)\)

+) Xét tam giác HDI có HD=HI => Tam giác HDI cân tại H => ^HDI=^HDI  (2)

Từ (1) , (2) => ^HID =^CDI mà hai góc ở vị trí so le trong => HI//DC   (ii)

Tương tự chứng minh được KJ//DC  (iii)

Từ (i); (ii); (iii) => H; I; J; K thẳng hàng => \(IJ=HK-HI-JK=15-5-6=4\left(cm\right)\)

Dạ :3 Con cảm ơn cô ạ :)

Bài 1 : \(\frac{2}{3}< \left[\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+\frac{3}{40}+\frac{4}{96}\right]:5\times x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \left[\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+\frac{3}{40}+\frac{1}{24}\right]:5\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \left[\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{2}{15}+\frac{3}{40}\right]:5\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \frac{5}{12}:5\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \frac{1}{12}\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \frac{x}{12}< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{8}{12}< \frac{x}{12}< \frac{10}{12}\)

=> x = 9

Bài 2 : \(\frac{\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right]}{x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{132}\)

=> \(\frac{\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}\right]}{x}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{11\cdot12}\)

=> \(\frac{\left[1-\frac{1}{16}\right]}{x}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\)

=> \(\frac{15}{\frac{16}{x}}=1-\frac{1}{12}\)

=> \(\frac{15}{\frac{16}{x}}=\frac{11}{12}\)

=> \(\frac{15}{16}:x=\frac{11}{12}\)

=> \(x=\frac{45}{44}\)

Bài 3 : \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{x\times(x+1):2}=\frac{399}{400}\)

=> \(\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{20}+...+\frac{2}{x\times(x+1)}=\frac{399}{400}\)

=> \(2\left[\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{x\times(x+1)}\right]=\frac{399}{400}\)

=> \(2\left[\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{x\times(x+1)}\right]=\frac{399}{400}\)

=> \(\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right]=\frac{399}{800}\)

=> \(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{399}{800}\)

=> \(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{800}\)

=> x = 799

Bài 2 :

\(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right):x=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{132}\) (*)

Ta có : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{8}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}=\frac{8+4+2+1}{16}=\frac{15}{16}\) (1)

Lại có : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{132}\)

\(=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{11.12}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\)

\(=1\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+...+\left(-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{12}\)

\(=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\) (2)

Thay (1) và (2) vào biểu thức (*) ta được :

\(\frac{15}{16}:x=\frac{11}{12}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{15}{16}:\frac{11}{12}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{45}{44}\)

Vậy : \(x=\frac{45}{44}\)

a, b, c là 3 cạnh của tam giác vuông => a, b, c>0 

Chứng minh  \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)  (1)  quy nạp theo n.

+) Với n=1 \(a^2+b^2=c^2\)  ( đúng)

+) Với n=2 \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=c^4-2a^2b^2< c^4\)

=> (1) đúng với n=2

+) G/s: (1) đúng với n  . Nghĩa là: \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)

Ta chứng minh (1) đúng với n+1

Thật vậy ta có:

\(a^{2\left(n+1\right)}+b^{2\left(n+1\right)}=a^{2n+2}+b^{2n+2}=a^{2n}.a^2+b^{2n}.b^2^{ }\)

\(=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\le c^{2n}.c^2-a^2b^{2n}-a^{2n}.b^2< c^{2n}.c^2=c^{2\left(n+1\right)}\)

=> (1) đúng với n+1

Vậy (1) đúng với mọi n>0

'Vậy \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)

\(3\left(x^2-2x-xy\right)+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x-3xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)-2x^2-6x-xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+2x+1\right)-x-2-xy=0\)

Đến đây thì .....

Em thử nha, ko chắc:v

PT \(\Leftrightarrow3x^2-3x\left(2+y\right)+y^2=0\)

\(\Delta=\left[-3\left(2+y\right)\right]^2-12y^2=-3y^2+36y+36\)

\(\Leftrightarrow6-4\sqrt{3}\le y\le6+4\sqrt{3}\). Mà \(y\inℤ\) nên\(0\le y\le12\)

Rồi thay từng số y vào giải pt bậc 2 biến x. 

P/s: Em làm đúng ko ta?

nguowch đề :))

\(ab^2+b+7⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow a\left(ab^2+b+7\right)-b\left(a^2b+a+b\right)⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow7a-b^2⋮a^2b+a+b\left(1\right)\)

\(+,7a=b^2\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(7k^2;7k\right)\left(k\text{ nguyên dương}\right)\)

\(+,7a>b^2\text{ từ 1}\Rightarrow7a-b^2\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow6a\ge a^2b+b+b^2\text{ mà: b là số nguyên dương}\Rightarrow b< 3\Leftrightarrow b\in\left\{1;2\right\}\)

làm tiếp

\(+,7a< b^2\text{ từ (1)}\Rightarrow b^2-7a\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow voli\text{ :)}.Tự\text{ kết luận}\)

+) \(\Delta\)ABC cân => \(\hept{\begin{cases}AB=AC\left(1\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{cases}}\)

Ta có:  \(\widehat{BAC}=100^o\)=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=40^o\)

\(\widehat{IBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABI}=40^o-10^o=30^o\)

\(\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{40^o}{2}=20^o\)(i)

+) Trên nửa mặt phẳng bờ AC  chứa B lấy điểm K sao cho \(\Delta\)AKC đều => \(\hept{\begin{cases}\widehat{KAC}=\widehat{ACK}=\widehat{AKC}=60^o\\AK=KC=AC\left(2\right)\end{cases}}\)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{BAC}-\widehat{KAC}=100^o-60^o=40^o\)

Từ (1); (2) => AB=AK => \(\Delta\)ABK cân tại A => \(\widehat{ABK}=\widehat{AKB}=\frac{180^o-\widehat{BAK}}{2}=70^o\)

=> \(\widehat{KBC}=\widehat{ABK}-\widehat{ABC}=70^o-40^o=30^o\)

\(\widehat{KCB}=\widehat{KCA}-\widehat{ACB}=60^o-40^o=20^o\)

+) Xét \(\Delta\)BIC và \(\Delta\)BKC có:

\(\widehat{IBC}=\widehat{KBC}\left(=30^o\right)\)

BC chung

\(\widehat{ICB}=\widehat{KCB}\left(=20^o\right)\)

=>  \(\Delta\)BIC = \(\Delta\)BKC 

=> CK =CI (3)

(2); (3) => CI =CA =>  \(\Delta\)ACI cân tại C

b)   \(\Delta\)ACI cân tại C có: \(\widehat{ACI}=20^o\) (theo (i) )

=> \(\widehat{CIA}=\widehat{CAI}=\frac{180^o-\widehat{ACI}}{2}=80^o\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{BAC}-\widehat{CAI}=100^o-80^o=20^o\)

Vẫn thiếu: r là số dư của a chia cho 42 hay r<42.

Ta có:  \(a=42x+r=2.3.7x+r\)

Vì a là số nguyên tố

=> r không thể chia hết cho các số 2; 3; 7

Mặt khác r là hợp số ( r không phải là số nguyên tố; r khác 1)

Các số không chia hết cho 2 và là hợp số là: 9; 15; 21;25;27;33;35;39  loại đi các số không chia hết cho 3 , 7

=> r =25

Như vậy a=42.x+25 <200

Nếu x\(\ge\)5 => 42.x+25 \(42.5+25\ge235>200\)( loại)

Do đó x<5

+) x = 0 

=> a = r=25 loại

+) x=1

=> a=42.1+25=67 ( là số nguyên tố) => a=67 thỏa mãn

+) x=2

=> a=42.2+25=109  ( tm)

+) x=3 

=> a=42.3+25=151 (tm)

+) x=4

=> a=42.2+25 =193 ( tm)

Vậy \(a\in\left\{67;109;151;193\right\}\)

Đặt \(u=\frac{bc}{a^2};v=\frac{ca}{b^2};w=\frac{ab}{c^2}\). BĐT quy về:

\(\frac{1}{\sqrt{8u+1}}+\frac{1}{\sqrt{8v+1}}+\frac{1}{\sqrt{8w+1}}\ge1\) với uvw = 1

Đặt \(\sqrt{8u+1}=x;\sqrt{8v+1}=y;\sqrt{8w+1}=z\)

Ta phải chứng minh \(xy+yz+zx\ge xyz\) (*) với \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)

Ta có: \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)

\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+x^2y^2z^2=513+\Sigma x^2y^2\)

(*) \(\Leftrightarrow\Sigma x^2y^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge x^2y^2z^2\)'

\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge513\)

Và rất đơn giản bởi AM-GM, điều đó hiển nhiên đúng:

Có:\(\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)\ge729\sqrt[9]{u^8v^8w^8}=729\)

Nên  \(xyz=\sqrt{\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)}\)

\(\ge\sqrt{729}=27\). Và \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3.9=27;a+b+c\ge9\)

P/s: Bài dài quá em chẳng muốn check lại. Có sai chỗ nào ko ta? Bài này lúc đầu em định uct nhưng ko ra.

Một BĐT mạnh (tổng quát) hơn!

Cho a, b, c > 0 và \(n\ge1\). Chứng minh:

\(\Sigma\frac{a^n}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\frac{1}{3}\left(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}\right)\)