( 4x - 1 )³ + ( 3 - 4x )( 9 + 12x + 16x² ) = ( 8x - 1 )( 8x + 1 ) - ( 3x - 5 )

<=> 64x³ - 48x² + 12x - 1 + [  3³ - ( 4x )³ ] = ( 8x )² - 1² - 3x + 5

<=> 64x³ - 48x² + 12x - 1 + 27 - 64x³ = 64x² - 1 - 3x + 5

<=> 64x³ - 48x² + 12x - 64x³ - 64x² + 3x = -1 + 5 + 1 - 27

<=> -112x² + 15x = -22

<=> -112x² + 15x + 22 = 0 (*) ( lại phải xài Delta :(( )

\(\Delta=b^2-4ac=15^2-4\cdot\left(-112\right)\cdot22=225+9856=10081\)

\(\Delta>0\)nên (*) có hai nghiệm phân biệt 

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-15+\sqrt{10081}}{-224}\\x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-15-\sqrt{10081}}{-224}\end{cases}}\)

Nghiệm xấu quá -..-

A.

( 2x + 1 )( y - 5 ) = 12

Ta có bảng sau :

Vì x , y thuộc N => ( x ; y ) = { ( 0 ; 17 ) , ( 1 ; 9 ) }

B.

4n - 5 chia hết cho 2n - 1

=> 2( 2n - 1 ) - 3 chia hết cho 2n - 1

=> 3 chia hết cho 2n - 1

=> 2n - 1 thuộc Ư(3) = { ±1 ; ±3 }

Vì n là số tự nhiên => n = { 1 ; 0 ; 2 }

1  cặp có giá trị là:

\(\frac{1}{11}\)+\(\frac{1}{25}\)=\(\frac{36}{275}\)

Có các phân số là;

(25-11):1+1=15(phân số)

Có các cặp là :

15 :2=7(CẶP ,DƯ 1 CẶP)

1 CẶP DƯ ĐÓ LÀ:

\(\frac{36}{275}\):2=\(\frac{36}{550}\)=\(\frac{18}{275}\)

Các cặp có tổng là:

\(\frac{36}{275}\).7=\(\frac{252}{275}\)

Tổng số đó là:

\(\frac{252}{275}\)+\(\frac{18}{275}\)=\(\frac{270}{275}\)=\(\frac{54}{55}\)

Phân số \(\frac{54}{55}\)lớn   hơn phân số \(\frac{47}{60}\)vì

\(\frac{54}{55}\)và \(\frac{47}{60}\)=\(\frac{3240}{3300}\)và \(\frac{2585}{3300}\)

\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+...+\frac{1}{25}\)

\(=\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}\right)+\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+\frac{1}{24}+\frac{1}{25}\right)\)

\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}>\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}=\frac{10}{60}\)

\(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}>\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{3}{15}=\frac{12}{60}\)

\(\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}>\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}=\frac{5}{20}=\frac{15}{60}\)

\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+\frac{1}{24}+\frac{1}{25}>\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=\frac{12}{60}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+...+\frac{1}{25}>\frac{10}{60}+\frac{12}{60}+\frac{15}{60}+\frac{12}{60}=\frac{49}{60}\)

Mà \(\frac{49}{60}>\frac{47}{60}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+...+\frac{1}{25}>\frac{47}{60}\left(đpcm\right)\)

Từ giả thiết a+b+c=1 suy ra: c=1-a-b, thay vào bất đẳng thức ta được

(3a+4b+5-5a-5b)²\(\ge\)44ab+44(a+b)(1-a-b)

<=> 48a²+16(3b-4)a+45b²-54b+25\(\ge0\)

Xét \(f\left(a\right)=48a^2+16\left(3b-4\right)a+45b^2-54b+25\), khi đó ta được

\(\Delta'=64\left(3b-4\right)^2-48\left(45b^2-54b+25\right)=-176\left(3b^2-1\right)\le0\)

Do đó suy ra: f(a) \(\ge\)0 hay 48a²+16(3a-4)a+45b²-54b+25\(\ge\)0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{3};c=\frac{1}{6}\)

Ta có : 

\(\frac{4ab+1}{4ab}=1+\frac{1}{4ab}\ge1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{4ab}{4ab+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)

Tương tự ta được : 

\(\frac{4bc}{4bc+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}};\frac{4ca}{4ca+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)

\(\Rightarrow VP\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)

BĐT cần chứng minh tương đương với 

\(a+b+c\ge\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\) (1)

Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)

\(x,y,z>0;x+y+z=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow x+y+z\ge2\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\right)\)

\(VP=\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}+\frac{2y^2}{2y}+\frac{2z^2}{2z}=x+y+z=VT\)

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

\(\frac{4ab}{4ab+1}< =\frac{4ab}{2\sqrt{4ab}}=\sqrt{ab}\)

CMTT =>\(\hept{\begin{cases}\frac{4bc}{4bc+1}< =\sqrt{bc}\\\frac{4ac}{4ac+1}< =\sqrt{ac}\end{cases}}\)

Ta có \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\)

=\(\frac{1}{2}\left(\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b+2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c+2\sqrt{ac}+a\right)\right)\)

=\(\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right)>=0\)

dấu = xảy ra khi a=b=c.

\(=>a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)\(>=\frac{4ab}{4ab+1}+\frac{4bc}{4bc+1}+\frac{4ac}{4ac+1}\)

Đề bài gì lạ vậy, sao tìm a+b/b+c mà lại có c/d=6, có nhầm đề ko bạn? Nhưng thôi mình cứ làm thử:)

Theo đề bài, ta có:

\(\frac{b}{a}=4,\frac{c}{d}=6\Rightarrow b=4a,c=6d\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{b+c}=\frac{a+4a}{4a+6d}=\frac{5a}{4a+6d}\)

\(=\frac{5a\cdot\frac{1}{d}}{\left(4a+6d\right)\cdot\frac{1}{d}}=\frac{5a\cdot\frac{1}{d}}{4a\cdot\frac{1}{d}+\frac{6d}{d}}=\frac{5a\cdot\frac{1}{d}}{4a\cdot\frac{1}{d}+6}\)

\(=\frac{2\cdot\frac{2.5a}{d}}{2\cdot\frac{2a}{d}+2\cdot3}=\frac{2\cdot\frac{2.5a}{d}}{2\cdot\left(\frac{2a}{d}+3\right)}=\frac{\frac{2.5a}{d}}{\frac{2a}{d}+3}=\frac{\frac{2a}{d}+\frac{0.5a}{d}}{\frac{2a}{d}+3}\)

Xét tử số của phân số trên ta thấy:

\(\frac{2a}{d}=4\cdot\frac{0.5a}{d}\) và số hạng\(\frac{2a}{d}\) xuất hiện 2 lần (1 lần ở tử số và 1 lần ở mẫu số) giống như số hạng \(b\) ở phân số \(\frac{a+b}{b+c}\) ban đầu.

\(\Rightarrow b=\frac{2a}{d},a=\frac{0.5a}{d}\)

\(\Rightarrow d=0.5a\Rightarrow c=0.5a\cdot6=3a\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{b+c}=\frac{a+4a}{4a+6a}=\frac{5a}{10a}=\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(A=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)}{2}\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\)

\(=5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\)

Đặt \(2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)=c\)

Từ công thức: \(a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x\left(a,b,x\inℤ\right)\Rightarrow a^2\cdot b^2=\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Nếu \(c\) là số chính phương thì \(5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\) là số chính phương.

Có thể thấy các thừa số của tích \(c\) mà có dạng \(\left(2d\right)^4+4\left(d\inℕ\right)\) thì chia hết cho \(2^2\).

Phân tích các thừa số của tích \(c\) ra thừa số nguyên tố. Ta có:

\(c=2\cdot\left(...\right)\left(2^2\cdot5\cdot13\right)\left(...\right)\left(2^2\cdot5^2\cdot13\right)...\left(2020^4+4=2^2\cdot...\right)\left(2021^4+4=...\cdot...\right)\)

Gộp các thừa số \(2^2\) lại thành tích ta có:

\(c=\left(2^2\right)^{\frac{\left(2021-3+1\right)-1}{2}}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^2\right)^{1009}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) (trong đó ký hiệu \(e\) là tích của các thừa số nguyên tố còn lại trong dãy \(\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\) sau khi 1009 thừa số \(2^2\) bị tách ra.

Có thể thấy tích \(e\) gồm các thừa số nguyên tố lớn hơn 2\(\Rightarrow2e\) không thể là số chính phương.

\(\Rightarrow\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) không phải là số chính phương\(\Rightarrow c\) không phải là số chính phương.

\(\Rightarrow A\) không phải là số chính phương (đpcm).

Ta có : \(4x-5y-6xy-7=0\)

\(\Leftrightarrow12x-15y-18xy-21=0\)

\(\Leftrightarrow\left(12x-18xy\right)-15y-21=0\)

\(\Leftrightarrow6x.\left(2-3y\right)+5.\left(2-3y\right)-31=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-3y\right)\left(6x+5\right)=31\)

Do \(x,y\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}2-3y\inℤ\\6x+5\inℤ\end{cases}}\)

Nên \(2-3y,6x+5\) là cặp ước của \(31\).

Ta có bảng sau :

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-6,1\right);\left(-1,11\right)\right\}\) thỏa mãn đề.

F = | 2x - 2 | + | 2x - 2003 |

F = | 2x - 2 | + | -( 2x - 2003 ) |

F = | 2x - 2 | + | 2003 - 2x |

Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

F = | 2x - 2 | + | 2003 - 2x | ≥ | 2x - 2 + 2003 - 2x | = | 2001 | = 2001

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0

=> ( 2x - 2 )( 2003 - 2x ) ≥ 0

Xét hai trường hợp :

1/ \(\hept{\begin{cases}2x-2\ge0\\2003-2x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge2\\-2x\ge-2003\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\le\frac{2003}{2}\end{cases}\Rightarrow}1\le x\le\frac{2003}{2}\)

2/ \(\hept{\begin{cases}2x-2\le0\\2003-2x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\le2\\-2x\le-2003\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le1\\x\ge\frac{2003}{2}\end{cases}}\)( loại )

Vậy MinF = 2001 <=> \(1\le x\le\frac{2003}{2}\)

G = | 2x - 3 | + 1/2| 4x - 1 |

G = | 2x - 3 | + | 2x - 1/2 |

G = | -( 2x - 3 ) | + | 2x - 1/2 |

G = | 3 - 2x | + | 2x - 1/2 |

Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

G = | 3 - 2x | + | 2x - 1/2 | ≥ | 3 - 2x + 2x - 1/2 | = | 5/2 | = 5/2

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0 

=> ( 3 - 2x )( 2x - 1/2 ) ≥ 0

Xét 2 trường hợp :

1/ \(\hept{\begin{cases}3-2x\ge0\\2x-\frac{1}{2}\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2x\ge-3\\2x\ge\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{2}\\x\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{4}\le x\le\frac{3}{2}\)

2/ \(\hept{\begin{cases}3-2x\le0\\2x-\frac{1}{2}\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2x\le-3\\2x\le\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le\frac{1}{4}\end{cases}}\)( loại )

=> MinG = 5/2 <=> \(\frac{1}{4}\le x\le\frac{3}{2}\)

H = | x - 2018 | + | x - 2019 | + | x - 2020 | 

H = | x - 2019 | + [ | x - 2018 | + | x - 2020 | ]

H = | x - 2019 | + [ x - 2018 | + | -( x - 2020 ) | ]

H = | x - 2019 | + [ | x - 2018 | + | 2020 - x | ]

Ta có : | x - 2019 | ≥ 0 ∀ x

| x - 2018 | + | 2020 - x | ≥ | x - 2018 + 2020 - x | = | 2 | = 2 ( BĐT | a | + | b | ≥ | a + b | )

=> | x - 2019 | + [ | x - 2018 | + | 2020 - x | ] ≥ 2

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left|x-2019\right|=0\\\left(x-2018\right)\left(2020-x\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2019\\2018\le x\le2020\end{cases}}\)

=> x = 2019

=> MinH = 2 <=> x = 2019