Ta có \(\left(x+y\right)^5=120y+3< 120\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^4< 120< 4^4\)

\(\Rightarrow x+y< 4\)

Cho mình hỏi đề bài tìm nghiệm nguyên dương chứ nhỉ

Đề bài chỉ nói tìm nghiệm nguyên thôi

Ta đặt: \(\frac{a}{b}=a-b=m\) Vì a, b là só nguyên => a, b khác 0 và m là số nguyên khác 0

=> a = b.m

=> \(b.m-b=m\)

=> \(b=\frac{m}{m-1}=\frac{m-1+1}{m-1}=1+\frac{1}{m-1}\)

Để b là số nguyên => \(m-1=\pm1\)

+) m - 1 =-1 ( loại )

+) m-1 = =1 => m=2 , b=2 => a = 2.2 = 4.

vẬY a=4; b=2.

<br class="Apple-interchange-newline"><div></div>ab =a−b=m Vì a, b là só nguyên => a, b khác 0 và m là số nguyên khác 0

=> a = b.m

=> b.m−b=m

=> b=mm−1 =m−1+1m−1 =1+1m−1 

Để b là số nguyên => m−1=±1

+) m - 1 =-1 ( loại )

+) m-1 = =1 => m=2 , b=2 => a = 2.2 = 4.

vẬY a=4; b=2.

\(\frac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2ab^3-2a^3b+2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-2b\right)-b^3\left(a-2b\right)+2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+2a^2b^2\ge0\left(1\right)\)

Do BĐT trên đối xứng,ko mất tính tổng quát giả sử \(a\le b\)

Khi đó \(\left(a-2b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\ge0\left(true\right)\)

P/S:E ko bt chỗ giả sử có đúng ko nx:(((

\(\left(a-b\right)\left(a-2b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) ạ.em viết nhầm:(((

126 \(⋮\) x; 210 \(⋮\) x 

=>x \(\in\) ƯC(126;210)

Ta có: 

126=2.3².7

210=2.3.5.7

=>UCLN(126;210)=2.3.7=42

=>x\(\in\) Ư(42). Mà 15<x<30

=>x=21 (thỏa mãn)

Vậy x=21

Vì 15 < x < 30 nên x = 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 29

Mà 126 ⋮ x; 210 ⋮ x nên x = 21

Nhớ cho mk vài k nha

C1: Có: \(9.3^{4n}=9.81^n\equiv1.1^n\equiv1\left(mod4\right)\)

\(8.2^{4n}=8.4^{2n}\equiv8\left(-1\right)^{2n}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(2019\equiv3\left(mod4\right)\)

=>  \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019\equiv1-0+3\equiv0\left(mod4\right)\)

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019⋮4\) (1)

Có: \(9.3^{4n}=9.81^n\equiv4.1^n\equiv4\left(mod5\right)\)

\(8.2^{4n}=8.4^{2n}\equiv3.\left(-1\right)^{2n}\equiv3\left(mod5\right)\)

\(2019\equiv-1\left(mod5\right)\)

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019\equiv0\left(mod5\right)\)

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019⋮5\) (2)

Từ (1) và (2) và (4;5)=1 ; 4.5=20

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019\) chia hết cho 20.

\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

Xét \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Đặt \(\left(b+c-a;c+a-b;a+b-c\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z=a+b+c\)

Ta có:\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)

\(\left(x+y\right)^3-3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+z^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=x^3+3xy\left(x+y\right)+y^3-3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+z^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(=3\cdot2a\cdot2b\cdot2c=24abc\)

Xét: \(9M=\Sigma\frac{a^2+b^2+c^2}{4a^2+b^2+c^2}-\frac{3}{2}+\Sigma\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{4a^2+b^2+c^2}-3+\frac{9}{2}\)

\(=\Sigma\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{4a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{2}\right)+\Sigma\left(\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{4a^2+b^2+c^2}-1\right)+\frac{9}{2}\)

\(=\frac{1}{2}\Sigma\frac{b^2+c^2-2a^2}{\left(4a^2+b^2+c^2\right)}+\Sigma\frac{2ab+2bc+2ca-4a^2-b^2-c^2}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{2}\)

\(=\frac{1}{2}\Sigma\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{\left(4a^2+b^2+c^2\right)}+\Sigma\frac{2a\left[\left(b-a\right)+\left(c-a\right)\right]}{4a^2+b^2+c^2}-\Sigma\frac{\left(b-c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{2}\)

\(=\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a^2+4b^2+c^2}-\frac{\left(a-b\right)\left(b+a\right)}{4a^2+b^2+c^2}\right)-\Sigma\frac{2a\left(a-b\right)}{4a^2+b^2+c^2}-\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+4c^2}+\frac{9}{2}\)

\(=\frac{1}{2}\Sigma\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(\frac{3a^2-3b^2}{\left(a^2+4b^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}\right)-\Sigma\frac{2a\left(a-b\right)}{4a^2+b^2+c^2}-\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+4c^2}+\frac{9}{2}\)

\(=\Sigma\frac{3\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2}{2\left(a^2+4b^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}-\Sigma\frac{2a\left(a-b\right)}{4a^2+b^2+c^2}-\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+4c^2}+\frac{9}{2}\)

\(=\Sigma\left(a-b\right)^2\left[\frac{3\left(a+b\right)^2}{2\left(a^2+4b^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\right]-\Sigma\frac{2a\left(a-b\right)}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{2}\)

\(=\Sigma\left(a-b\right)^2\left[\frac{3\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2+4c^2\right)-2\left(a^2+4b^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+4b^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+4c^2\right)}\right]-\Sigma\frac{2a\left(a-b\right)}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{2}\)Ai đó làm tiếp giúp em vs:( Em chỉ nghĩ ra được tới đây thôi.

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;a^2+c^2\ge2\sqrt{a^2c^2}=2ac;a^2+a^2\ge2\sqrt{a^2a^2}=2a^2\)

Khi đó:

\(4a^2+b^2+c^2\ge2a\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}\le\frac{1}{6a}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}\le\frac{1}{6b};\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{6c}\cdot\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{ab+bc+ca}{abc}\cdot\frac{1}{6}\) \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)

Theo BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Khi đó \(M\le\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

P/S:Is that true ??

( Với số hàng cần xếp học sinh vào là không thay đổi )

Nếu xếp đầy học sinh vào các hàng và không tính các học sinh thừa và học sinh thiếu thì tổng số học sinh xếp hàng 20 bạn nhiều hơn tổng số học sinh xếp hàng 10 bạn là: 9 + 7 = 16 ( học sinh )

Với một hàng, số học sinh xếp hàng 20 bạn nhiều hơn số học sinh xếp hàng 18 bạn là : 20 - 18 = 2 ( học sinh )

Số hàng là : 16 : 2 = 8 ( hàng )

Tổng số học sinh cần tìm là: 18 x 8 + 7 = 151 ( học sinh ) 

Cám ơn bạn Nguyễn Linh Chi!