Bài 1:

Cho tam giác ABC cân có AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC).

a, Chứng minh HB=HC

b, Tính độ dài AH.

c, Kẻ HD vuông góc với AB(D thuộc AB), kẻ HE vuông góc với AC ( E thuộc AC).Chứng minh tam giác HDE cân.

d, So sánh HD và HC.

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH.

a, Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và AH là tia phân giác của góc BAC.

b, Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH.

c,, Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG.

d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.

Bài 3

Cho tam giác ABC có CA= CB= 10cm, AB= 12cm.kẻ CI vuông góc với AB.Kẻ IH vuông góc với AC, IK vuông góc với BC.

a, Chứng minh IB= IC và tính độ dài CI

b, Chứng minh IH= IK.

c, HK// AC.

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H.Biết AB= 10cm, BH= 6cm.

a, Tính AH

b, tam giác ABH= tam giác ACH.

c, trên BA lấy D, CA lấy E sao cho BD= CE.Chứng minh tam giác HDE cân.

d, AH là trung trực của DE.

Bài 5:

Cho tam giác ABC cân tại AGọi D là trung điểm của BC.Từ D kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. Chứng minh rằng:

a, tam giác ABD= tam giác ACD.

b, AD vuông góc với BC.

c, Cho AC= 10cm, BC= 12cm.Tính AD.

d, tam giác DEF cân.

Bài 6:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A < 90⁰. kẻ BH vuông góc với AC ,CK vuông góc với AC.Gọi O là giao điểm của BH và CK.

a, Chứng minh tam giác ABH=Tam giác ACH.

b, Tam giác OBC cân.

c, Tam giác OBK = tam giác OCK.

d, trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng.

Bài 7

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.

a, Tam giác ABD=tam giác ACE.

b, Tam giác BHC cân.

c, ED//BC

d, AH cắt BC tại K, trên HK lấy M sao cho K là trung điểm của HM.Chứng minh tam giác ACM vuông.

Bài 8

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.

a, BD= CE.

b, Tam giác BHC cân.

c, AH là trung trực của BC

d, Trên tia BD lấy K sao cho D là trung điểm của BK.So sánh góc ECB và góc DKC.

Bài9

Cho tam giác ABC cân tại A.vẽ trung tuyến AM .từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E.kẻ MF vuông góc với AC tại F.

a, chứng minh tam giác BEM= tam giác CFM.

b, AM là trung trực vủa EF.

c, từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường này cắt nhau tại D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng.

Bài 10

Cho tam giác ABC cân tại AGọi M là trung điểm của AC.Trên tia đối MB lấy D sao cho DM= BM.

a, Chứng minh Tam giác BMC= tam giác DMA.Suy ra AD//BC.

b, tam giác ACD cân.

c. trên tia đối CA lấy E sao cho CA= CE.Chuwngsminh DC đi qua trung điểm I của BE.

Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC ), M là trung điểm của BC. Gọi D là  điểm là điểm nằm giữa A và M. Chứng minh rằng:

          a) AM là tia phân giác của góc A?   

          b) êABD = êACD.      

          c) êBCD là tam giác cân ?

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với BC (E  BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng:

          a) êABD = êEBD

          b) êABE là tam giác cân ?

          c) DF = DC.

Bài 13:  Cho tam giác ABC có \ = 90⁰ , AB = 8cm, AC = 6cm .

         a) Tính BC .

         b) Trên cạnh AC  lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD  = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .

         c)  Chứng minh DE  đi qua trung điểm cạnh BC .       

Bài 14 :Cho ∆ ABC vuông tại A.Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA

a)     C/m  góc BAD = góc ADB

b)     C/m Ad là phân giác của góc HAC

c)     Vẽ DK vuông góc AC ( K thuộc AC). C/m AK = AH

Bài 15

        Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với BC tại H và DH cắt AB tại K.

a. Chứng minh: AD = HD                                                            

b. So sánh độ dài cạnh AD và DC                                                

c. Chứng minh tam giác KBC là tam giác cân

Bài 16:Cho ABC  vuông  tại  A, có BC = 10cm ,AC = 8cm .Kẻ đường phân giác BI (IAC) , kẻ ID vuông góc với BC (DBC).

a/ Tính AB

b/ Chứng minh AIB = DIB

c/ Chứng minh BI là đường trung trực của AD

d/ Gọi E là giao điểm của BA và DI. Chứng minh BI vuông góc với EC

Bài 17 : Cho  cân tại A (). Kẻ BDAC (DAC), CE AB (E AB),  BD và CE cắt nhau tại H.

a)     Chứng minh: BD = CE

b)    Chứng minh: cân

c)     Chứng minh: AH là đường trung trực của BC

d)    Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh: góc  ECB và góc DKC

Bài 18: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Tia ph©n gi¸c cña  c¾t AC t¹i D. Tõ D kÎ DH vu«ng gãc víi BC t¹i H vµ DH c¾t AB t¹i K.

     a) Chøng minh: AD = DH                                                               

     b) So s¸nh ®é dµi AD vµ DC                                                            

     c) Chøng minh ∆KBC lµ tam gi¸c c©n.     

Bài 19 : Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AB,AC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của DE . Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MB.

a, chứng minh MDB = MEF.

b, Chứng minh CEF cân .

c, Kẻ phân giác AK của góc BAC. Chứng minh AK // CF.

Bài 20:Cho tam giác ABC vuông tại A, = 60⁰ .Tia phân giác góc B cắt AC tại E . Từ E vẽ EH  BC ( HBC)

a/ Chứng minh  ABE =  HBE

b/ Qua H vẽ HK // BE  ( K  AC ) Chứng minh  EHK đều .

c/ HE cắt  BA tại M, MC cắt  BE tại N. Chứng minh NM = NC

Bài 21

 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C=30Tia phân giác góc B cắt BC tại E . Từ E vẽ EH  BC ( HBC)

a/ So sánh các cạnh của tam giác ABC

b/ Chứng minh  ABE =  HBE

c/ Chứng minh  EAH cân

d/  Từ H kẻ HK song song với BE (K thuộc AC ) Chứng minh :  AE=EK=KC

Bài 22

      Cho tam giác ABC vuông tại A, đư­ờng phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H   BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE Chứng minh rằng:

          a) ABE =  HBE

          b) BE là đư­ờng trung trực của đoạn thẳng AH

          c) Tam giác EKC cân.

Bài 23

 Cho     ABC cân tại A ( A  nhọn ). Tia phân giác góc của A cắt BC tại I.

 a. Chứng minh AI     BC.

 b. Gọi D là trung điểm của AC, M là giao điểm của BD với AI. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tâm giác ABC.

 c. Biết AB = AC = 5cm; BC = 6 cm. Tính AM.

         Bài 24:

        Cho ABC vuông ở C, có góc A bằng 60⁰. Tia phân giác của góc BAC cắt

         BC ở E.Kẻ   EK vuông góc với AB( K thuộc AB).

        a). Chứng minh AC =AK và AE  CK

        b). Chứng minh KA = KB.

        c). Chứng minh EB > AC.

        d). Kẻ BD vuông góc với tia AE( D thuộc tia AE). Chứng minh ba đường

         thẳng    AC, BD, KE cùng đi qua 1 điểm.

 Bài 25:

Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho DM = BM

a. Chứng minh BMC = DMA. Suy ra AD // BC.

b. Chứng  minh ACD là tam giác cân.

c. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE. Chứng minh  DC đi qua trung điểm I của BE.

Bài 26:

  Cho tam giác ABC có AB < AC và tia phân giác AD . Trên tia AC lấy

            điểm  E sao cho AE =AB .

           a. So sánh  và  .

           b. Chứng minh  BD = DE .

           c. AB cắt ED ở K . Chứng minh  DBK =  DEC .

           d. AKC là tam giác gì ?

           e. Chứng minh  AD  KC 

Bài 27:  Cho góc xoy = 120⁰. Điểm A thuộc tia phân giác của góc đó. Kẻ AB vuông góc với Ox (BOx) ; AC vuông góc với Oy (COy). Chứng minh rằng:

a)    AB = AC

b)    AO BC

c)    Kẻ BE vuông góc với phần kéo dài của Oy tại E. Cho OE = 3cm; Oc = 5cm. Tính BC?

d)    Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 28 

Cho cân có AB = AC = 5cm, BC = 8cm. Kẻ AH vuông góc BC (HBC)

a)    Chứng minh: HB = HC.

b)    Tính độ dài AH.

c)    Kẻ HD vuông góc với AB (DAB), kẻ HE vuông góc với AC (EAC).

Chứng minh  cân

     d) So sánh HD và HC

Bài 29: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy  điểm D và E sao cho BD = CE (D nằm giữa B và E)

       a/ Chứng minh:ABD = ACE

       b/ Kẻ DM  AB (M  AB) và EN  AC (N  AC ). Chứng minh: AM =AN

       c/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng EN và BÂC= 120. Chứng minhDKE đều

Bài 30:  Cho tam giác ABC có \ = 90⁰ , AB = 8cm, AC = 6cm .

         a) Tính BC .

         b) Trên cạnh AC  lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD  = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .

         c)  Chứng minh DE  đi qua trung điểm cạnh BC .       

Bài 31: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90⁰ ; AC> AB. Kẻ AH BC. Trên BC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ CE vuông góc với AD kéo dài. Chứng minh rằng:

a)    Tam giác BAD cân

b)    CE là phân giác của góc

c)    Gọi  giao điểm của AH và CE là K. Chứng minh: KD// AB.

d)    Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AKC đều.

Câu 32: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm;  kẻ AH ^ BC ( H Î BC)

a)    Chứng minh BH = HC và  

b)    Tính độ dài BH biết AH = 4 cm.

c)    Kẻ HD ^ AB ( d Î AB), kẻ EH ^ AC (E Î AC). Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Câu 33: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm , BC = 8 cm . Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC)

a) Chứng minh : HB = HC và  =   

          b)Tính độ dài AH ?

Bài 34.   Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . Gọi M là giao điểm của BE và CD . Chứng minh rằng :

     a) BE = CD

     b)

     c) AM là tia phân giác của góc BAC.

Bài 35. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE

     a) Chứng minh DE // BC.

    b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC .Chứng minh DM = EN

     c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân .

     d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I . Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.

Bài 36. Cho tam giác cân ABC có Â = 45⁰ , AB = AC . Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh rằng :

    a)  

    b) 

    c)  Tam giác MNC vuông cân tại C .

Bài 37. Cho tam giác ABC vuông ở A có  và AC – AB = 14cm . Tính các cạnh của tam giác đó .

Bài 38. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD . Chứng minh rằng :

    a) AE = BD .

    b)

    c) Tam giác MNC là tam giác đều.

Bài 39 .Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D . trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H . Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M . Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I . Chứng minh :

    a)  

    b)

    c) BG = GH

Bài  40. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh BC lấy điểm D . Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho . Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M . Từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N .

    a) Chứng minh MD = NE 

    b)  MN cắt DE ở I . Chứng minh I là trung điểm của DE

    c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt nhau tại O. Chứng tỏ Ao là đường trung trực của BC

Bài 41:

     Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối tia AC lấy điểm D sao cho DA=AC. Chứng minh tam giác BCD vuông.

Bài 42:

    Cho tam giác ABC đều, Tia phân giác góc ABC cắt AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E. Gọi O là giao điểm của BD và CE.CMR:

    a/ BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB.

    b/ OA= OB = OC.

Bài 43:

    Cho tam giác ABC cân tại A có góc A= 80⁰. Gọi D là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho góc DBC= 10⁰, DCB=30⁰. Tính số đo góc BAD.

Bài 44:

    Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.Biết BH= 9cm, HC=16cm. Tính AB và AH.

Bài 45:

   Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Biets AB = 10cm.AH=8cm, HC=15cm. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 46:

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng:

BH²+CH²+ 2AH² = BC²

Bài 47:

   Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC= 6cm, BC= 10cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.

Bài 48:

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết 3AB= 4AC và BC= 20cm. Tính độ dào các cạnh AB và AC.

Bài 49:

    Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì. Vẽ BH vuông góc với d tại H, CK vuông góc với d tại K. Chứng minh rằng tổng BH² + CK² không phụ thuộc vào đường thẳng d.

Bài 50:

Cho tam giác ABC vuông tại A , Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng

AH² =  BH.CH

Bài 50: 

     Cho tam giác ABC có góc A= 30  ĐỘ  . Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD. Chứng minh rằng AD² = AB² + AC²

Bài 51:

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM= BA, CN = CA. Tính góc MAN.

Bài 52:

    Cho tam giác ABC vuông tại A( AB< AC), phân giác AD. Từ D vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M. Tings góc MBD.

Bài 53:

     Tam giác ABC có góc B= 750, góc C = 600. kéo dài BC một đoạn thẳng CD sao cho CD= ½ BC. Tính góc ABD.

Bài 54:

    Cho tam giác ABC, AB= AC. Tia phân giác của góc B và Góc C cắt AC và AB lần lượt ở D và E. Chứng minh rằng:

    a/ Tam giác AED cân tại đỉnh A

    b/ DE // BC.

    c/ BE= ED = DC.

Bài 55:

     Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở E, qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại K. Chứng minh:

    a/ Tam giác AED cân.

    b/ AE= BK.

Bài 56

    Cho tam giác ABC có góc B = 45⁰, góc A = 15⁰. Trên tia đối tia CB lấy điểm D sao cho CD= 2BC. Kẻ DE vuông góc với AC.

  a/ Chứng minh EB= ED.

  b/ Tính góc ADB.

Bài 57

    Cho tam giác ABC, góc A= 60⁰. Tia phân giác góc B và góc C cắt các cạnh đối diện tại D và E, BD và CE cắt nhau tại O. Tia phân giác của ggocs BOC cắt BC tại F. Chứng minh rằng:

    a/ OD= OE = OF.

    b/ Tam giác DEF đều,

Bài 58:

    Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3 AB. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F.

Chứng minh rằng:

    a/ DF vuông góc với BC.

    b/ Tamgiacs DEF đều.

Bài 59:

     Cho tam giác ABC có góc B= 50⁰. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E.

   a/ Chứng minh tam giác AEB cân.

   b/ Tính góc BAE.

Bài 60:

    Cho tam giác cân ABC( AB= AC). Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC.CMR:

     a/ DE//BC.

     b/

     c/

Bài 61:

    Cho . Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh rằng: DE= BD + CE.

Bài 62

    Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD= BE = CF.chứng minh tam giác DEF đều.

Bài 63:

    Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM= CN= AB.   a/ chứng minh tam giác AMN cân.

         b/ tính góc MAN.

Bài 64:

    Cho có góc A = 600. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC.

    a/ Chứng minh M,A, N thẳng hàng.

   b/ BM= CN.

Bài 65:

    Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối AB lấy điểm D, trên tia đối AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:

     a/ DE//BC

     b/ BE= CD

     c/

Bài 66:

     Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Vẽ phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABD và ACE.

    a/ Chứng minh BE= CD.

    b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC.

Bài 67:

    Cho tam giác ABC vuông cân ở A, biết AB= AC= 4cm.

  a/ tính BC,

  b/ từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BC. Chứng minh D là trung điểm của BC.

  c/ từ D kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh tam giác AED là tam giác vuong cân.

  d/ tính AD.

Bài 68:

    Cho tam giác ABC vuông tại A( AB> AC).

   a/ cho AB= 8cm, BC= 10cm. Tính AC

   b/ gọi M là trung điểm của BC.trên tia đối MA lấy D sao cho MD= MA. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, trên tia đối của HA lấy E sao cho HE = HA. CMR:

   1. CD vuông góc với AC.     2.  cân.     3. BD= CE.             4. AE vuông góc với ED.

Bài 69:

    Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Vẽ HD vuông góc với AB tại D. HE vuông góc với AC tại E. CMR:

   a/ BH= HC                          b/ BD= CE

Bài 70

.  Cho rABC , kẻ AH BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm . Tính  độ dài các cạnh AH, HC, AC?

Bài 71:

Cho tam giác cân ABC c©n t¹i A (AB = AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

          a) Chứng minh .

          b) Chứng minh BE = CD.

          c) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh  c©n t¹i K.

          d) Chøng minh AK là tia phân giác của  

Bài 72:

Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ  ( ). Biết AB = 13 cm; AH = 12 cm và

HC = 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 73:

: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm Q và R sao cho BQ = CR.

a)    Chứng minh  AQ = AR

b)    Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh :

Bài 74:

Cho ABC cã AB = AC = 5 cm; BC = 8 cm. KÎ AH  BC (HBC)

a) Chøng minh HB = HC vµ

b) TÝnh ®é dµi AH.

c) KÎ HD  AB (DAB); HE  AC (EAC). Chøng minh r»ng: HDE c©n.

Bài 75:

.  Cho rABC , kẻ AH BC. 

Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm (hình vẽ).

a)    Biết . Tính  ?

b)    Tính  độ dài các cạnh AH, HC, AC.

Bài 76:

. Cho tam gíac ABC cân tại  A. Kẽ  , I BC.

a) CMR: I là trung điểm của  BC.

b) Lấy điểm  E thuộc AB  và điểm F thuộc AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng:IEF là tam giác cân.

c) Chứng minh rằng: EBI = FCI.

Bài 77:

: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với

9; 12 và 15 

Bài 78:

Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ NA vuông góc với Ox  (AOx), NB vuông góc với Oy (B Oy)

      a. Chứng minh:   NA = NB.

      b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

      c. Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E. Chứng minh: ND = NE.

      d. Chứng minh ONDE

Bài 79:

 Tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC  ( HBC ). Tính AH biết: AB:AC = 3:4 và BC = 10 cm.

Bài 80:

:  Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (AOx), KB vuông góc với Oy ( BOy)

      a. Chứng minh:   KA = KB.

      b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

      c. Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E. Chứng minh: KD = KE.

      d. Chứng minh OKDE

Bài 81:

:  Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I.

a)    Chứng minh

b)    So sánh góc IBE và góc ICD.

c)    AI cắt BC tại H. Chứng minh  tại H.

Bài82:

. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ

a)    Chứng minh

b)    Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.

c)    Kẻ . Chứng minh AE = AD.

d)    Chứng minh ED // BC.

Bài 83:

. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I.

a)    Chứng minh

b)    So sánh góc IBE và góc ICD.

c)    AI cắt BC tại H. Chứng minh  tại H.

Bài 84:

Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ

1)    Chứng minh

2)    Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.

3)    Kẻ . Chứng minh AE = AD.

4)    Chứng minh ED // BC.

Bài 85:

. Cho tam giác MNP cân tại N. Trên tia đối của tia MP lấy điểm I, trên tia đối của tia PM lấy                             

            điểm K sao cho MI = PK.            

a)Chứng minh: DNMI = DNPK   ;

b)Vẽ NH ^ MP, chứng minh DNHM = DNHP và HM = HP                  

c)Tam giác NIK là tam giác gì? Vì sao?                              

Bài 86:

ChoABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH  BC ( H  BC ).                                                          

Gọi K là giao điểm của AH và BE. Chứng minh rằng:

a/.  ABE =  HBE                        b/. BE là đường trung trực của AH

Bài 87:

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ^ BC

a)Chứng minh: DAHB = DAHC                ; b)Vẽ HM ^ AB, HN ^ AC. Chứng minh DAMN cân                     

c)Chứng minh MN // BC                 ; d)Chứng minh AH² + BM² = AN² + BH²                 

Bài 88:

Cho tam giác ABC , có AC < AB , M là trung điểm BC, vẽ phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với  AD tại  H, đường thẳng này cắt tia AC tại F ,cắt AB tại E. Chứng minh rằng :

a)  AFE cân                                                                                                                     

b) Vẽ đường thẳng Bx // EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng : KF = BE

c) Chứng minh rằng :  AE =

Bài 89:

 Cho ΔABC vuông tại A, M là trung điểm BC, vẽ MH AB. Trên tia đối tia MH lấy điểm K sao cho

        MK = MH.

a).CMR:  ΔMHB = ΔMKC    b).CMR: AC = HK

c).CH cắt AM tại G, tia BG cắt AC tại I. CMR: I là trung điểm ACẬP HÌNH CHƯƠNG 2 TOÁN 7

Bài 1:

Cho tam giác ABC cân có AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC).

a, Chứng minh HB=HC

b, Tính độ dài AH.

c, Kẻ HD vuông góc với AB(D thuộc AB), kẻ HE vuông góc với AC ( E thuộc AC).Chứng minh tam giác HDE cân.

d, So sánh HD và HC.

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH.

a, Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và AH là tia phân giác của góc BAC.

b, Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH.

c,, Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG.

d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.

Bài 3

Cho tam giác ABC có CA= CB= 10cm, AB= 12cm.kẻ CI vuông góc với AB.Kẻ IH vuông góc với AC, IK vuông góc với BC.

a, Chứng minh IB= IC và tính độ dài CI

b, Chứng minh IH= IK.

c, HK// AC.

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H.Biết AB= 10cm, BH= 6cm.

a, Tính AH

b, tam giác ABH= tam giác ACH.

c, trên BA lấy D, CA lấy E sao cho BD= CE.Chứng minh tam giác HDE cân.

d, AH là trung trực của DE.

Bài 5:

Cho tam giác ABC cân tại AGọi D là trung điểm của BC.Từ D kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. Chứng minh rằng:

a, tam giác ABD= tam giác ACD.

b, AD vuông góc với BC.

c, Cho AC= 10cm, BC= 12cm.Tính AD.

d, tam giác DEF cân.

Bài 6:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A < 90⁰. kẻ BH vuông góc với AC ,CK vuông góc với AC.Gọi O là giao điểm của BH và CK.

a, Chứng minh tam giác ABH=Tam giác ACH.

b, Tam giác OBC cân.

c, Tam giác OBK = tam giác OCK.

d, trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng.

Bài 7

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.

a, Tam giác ABD=tam giác ACE.

b, Tam giác BHC cân.

c, ED//BC

d, AH cắt BC tại K, trên HK lấy M sao cho K là trung điểm của HM.Chứng minh tam giác ACM vuông.

Bài 8

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại H.

a, BD= CE.

b, Tam giác BHC cân.

c, AH là trung trực của BC

d, Trên tia BD lấy K sao cho D là trung điểm của BK.So sánh góc ECB và góc DKC.

Bài9

Cho tam giác ABC cân tại A.vẽ trung tuyến AM .từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E.kẻ MF vuông góc với AC tại F.

a, chứng minh tam giác BEM= tam giác CFM.

b, AM là trung trực vủa EF.

c, từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường này cắt nhau tại D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng.

Bài 10

Cho tam giác ABC cân tại AGọi M là trung điểm của AC.Trên tia đối MB lấy D sao cho DM= BM.

a, Chứng minh Tam giác BMC= tam giác DMA.Suy ra AD//BC.

b, tam giác ACD cân.

c. trên tia đối CA lấy E sao cho CA= CE.Chuwngsminh DC đi qua trung điểm I của BE.

Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC ), M là trung điểm của BC. Gọi D là  điểm là điểm nằm giữa A và M. Chứng minh rằng:

          a) AM là tia phân giác của góc A?   

          b) êABD = êACD.      

          c) êBCD là tam giác cân ?

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với BC (E  BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng:

          a) êABD = êEBD

          b) êABE là tam giác cân ?

          c) DF = DC.

Bài 13:  Cho tam giác ABC có \ = 90⁰ , AB = 8cm, AC = 6cm .

         a) Tính BC .

         b) Trên cạnh AC  lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD  = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .

         c)  Chứng minh DE  đi qua trung điểm cạnh BC .       

Bài 14 :Cho ∆ ABC vuông tại A.Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA

a)     C/m  góc BAD = góc ADB

b)     C/m Ad là phân giác của góc HAC

c)     Vẽ DK vuông góc AC ( K thuộc AC). C/m AK = AH

Bài 15

        Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với BC tại H và DH cắt AB tại K.

a. Chứng minh: AD = HD                                                            

b. So sánh độ dài cạnh AD và DC                                                

c. Chứng minh tam giác KBC là tam giác cân

Bài 16:Cho ABC  vuông  tại  A, có BC = 10cm ,AC = 8cm .Kẻ đường phân giác BI (IAC) , kẻ ID vuông góc với BC (DBC).

a/ Tính AB

b/ Chứng minh AIB = DIB

c/ Chứng minh BI là đường trung trực của AD

d/ Gọi E là giao điểm của BA và DI. Chứng minh BI vuông góc với EC

Bài 17 : Cho  cân tại A (). Kẻ BDAC (DAC), CE AB (E AB),  BD và CE cắt nhau tại H.

a)     Chứng minh: BD = CE

b)    Chứng minh: cân

c)     Chứng minh: AH là đường trung trực của BC

d)    Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh: góc  ECB và góc DKC

Bài 18: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Tia ph©n gi¸c cña  c¾t AC t¹i D. Tõ D kÎ DH vu«ng gãc víi BC t¹i H vµ DH c¾t AB t¹i K.

     a) Chøng minh: AD = DH                                                               

     b) So s¸nh ®é dµi AD vµ DC                                                            

     c) Chøng minh ∆KBC lµ tam gi¸c c©n.     

Bài 19 : Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AB,AC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của DE . Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MB.

a, chứng minh MDB = MEF.

b, Chứng minh CEF cân .

c, Kẻ phân giác AK của góc BAC. Chứng minh AK // CF.

Bài 20:Cho tam giác ABC vuông tại A, = 60⁰ .Tia phân giác góc B cắt AC tại E . Từ E vẽ EH  BC ( HBC)

a/ Chứng minh  ABE =  HBE

b/ Qua H vẽ HK // BE  ( K  AC ) Chứng minh  EHK đều .

c/ HE cắt  BA tại M, MC cắt  BE tại N. Chứng minh NM = NC

Bài 21

 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C=30Tia phân giác góc B cắt BC tại E . Từ E vẽ EH  BC ( HBC)

a/ So sánh các cạnh của tam giác ABC

b/ Chứng minh  ABE =  HBE

c/ Chứng minh  EAH cân

d/  Từ H kẻ HK song song với BE (K thuộc AC ) Chứng minh :  AE=EK=KC

Bài 22

      Cho tam giác ABC vuông tại A, đư­ờng phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H   BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE Chứng minh rằng:

          a) ABE =  HBE

          b) BE là đư­ờng trung trực của đoạn thẳng AH

          c) Tam giác EKC cân.

Bài 23

 Cho     ABC cân tại A ( A  nhọn ). Tia phân giác góc của A cắt BC tại I.

 a. Chứng minh AI     BC.

 b. Gọi D là trung điểm của AC, M là giao điểm của BD với AI. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tâm giác ABC.

 c. Biết AB = AC = 5cm; BC = 6 cm. Tính AM.

         Bài 24:

        Cho ABC vuông ở C, có góc A bằng 60⁰. Tia phân giác của góc BAC cắt

         BC ở E.Kẻ   EK vuông góc với AB( K thuộc AB).

        a). Chứng minh AC =AK và AE  CK

        b). Chứng minh KA = KB.

        c). Chứng minh EB > AC.

        d). Kẻ BD vuông góc với tia AE( D thuộc tia AE). Chứng minh ba đường

         thẳng    AC, BD, KE cùng đi qua 1 điểm.

 Bài 25:

Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho DM = BM

a. Chứng minh BMC = DMA. Suy ra AD // BC.

b. Chứng  minh ACD là tam giác cân.

c. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE. Chứng minh  DC đi qua trung điểm I của BE.

Bài 26:

  Cho tam giác ABC có AB < AC và tia phân giác AD . Trên tia AC lấy

            điểm  E sao cho AE =AB .

           a. So sánh  và  .

           b. Chứng minh  BD = DE .

           c. AB cắt ED ở K . Chứng minh  DBK =  DEC .

           d. AKC là tam giác gì ?

           e. Chứng minh  AD  KC 

Bài 27:  Cho góc xoy = 120⁰. Điểm A thuộc tia phân giác của góc đó. Kẻ AB vuông góc với Ox (BOx) ; AC vuông góc với Oy (COy). Chứng minh rằng:

a)    AB = AC

b)    AO BC

c)    Kẻ BE vuông góc với phần kéo dài của Oy tại E. Cho OE = 3cm; Oc = 5cm. Tính BC?

d)    Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 28 

Cho cân có AB = AC = 5cm, BC = 8cm. Kẻ AH vuông góc BC (HBC)

a)    Chứng minh: HB = HC.

b)    Tính độ dài AH.

c)    Kẻ HD vuông góc với AB (DAB), kẻ HE vuông góc với AC (EAC).

Chứng minh  cân

     d) So sánh HD và HC

Bài 29: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy  điểm D và E sao cho BD = CE (D nằm giữa B và E)

       a/ Chứng minh:ABD = ACE

       b/ Kẻ DM  AB (M  AB) và EN  AC (N  AC ). Chứng minh: AM =AN

       c/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng EN và BÂC= 120. Chứng minhDKE đều

Bài 30:  Cho tam giác ABC có \ = 90⁰ , AB = 8cm, AC = 6cm .

         a) Tính BC .

         b) Trên cạnh AC  lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD  = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .

         c)  Chứng minh DE  đi qua trung điểm cạnh BC .       

Bài 31: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90⁰ ; AC> AB. Kẻ AH BC. Trên BC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ CE vuông góc với AD kéo dài. Chứng minh rằng:

a)    Tam giác BAD cân

b)    CE là phân giác của góc

c)    Gọi  giao điểm của AH và CE là K. Chứng minh: KD// AB.

d)    Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AKC đều.

Câu 32: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm;  kẻ AH ^ BC ( H Î BC)

a)    Chứng minh BH = HC và  

b)    Tính độ dài BH biết AH = 4 cm.

c)    Kẻ HD ^ AB ( d Î AB), kẻ EH ^ AC (E Î AC). Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Câu 33: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm , BC = 8 cm . Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC)

a) Chứng minh : HB = HC và  =   

          b)Tính độ dài AH ?

Bài 34.   Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . Gọi M là giao điểm của BE và CD . Chứng minh rằng :

     a) BE = CD

     b)

     c) AM là tia phân giác của góc BAC.

Bài 35. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE

     a) Chứng minh DE // BC.

    b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC .Chứng minh DM = EN

     c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân .

     d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I . Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.

Bài 36. Cho tam giác cân ABC có Â = 45⁰ , AB = AC . Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh rằng :

    a)  

    b) 

    c)  Tam giác MNC vuông cân tại C .

Bài 37. Cho tam giác ABC vuông ở A có  và AC – AB = 14cm . Tính các cạnh của tam giác đó .

Bài 38. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD . Chứng minh rằng :

    a) AE = BD .

    b)

    c) Tam giác MNC là tam giác đều.

Bài 39 .Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D . trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H . Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M . Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I . Chứng minh :

    a)  

    b)

    c) BG = GH

Bài  40. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh BC lấy điểm D . Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho . Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M . Từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N .

    a) Chứng minh MD = NE 

    b)  MN cắt DE ở I . Chứng minh I là trung điểm của DE

    c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt nhau tại O. Chứng tỏ Ao là đường trung trực của BC

Bài 41:

     Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối tia AC lấy điểm D sao cho DA=AC. Chứng minh tam giác BCD vuông.

Bài 42:

    Cho tam giác ABC đều, Tia phân giác góc ABC cắt AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E. Gọi O là giao điểm của BD và CE.CMR:

    a/ BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB.

    b/ OA= OB = OC.

Bài 43:

    Cho tam giác ABC cân tại A có góc A= 80⁰. Gọi D là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho góc DBC= 10⁰, DCB=30⁰. Tính số đo góc BAD.

Bài 44:

    Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.Biết BH= 9cm, HC=16cm. Tính AB và AH.

Bài 45:

   Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Biets AB = 10cm.AH=8cm, HC=15cm. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 46:

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng:

BH²+CH²+ 2AH² = BC²

Bài 47:

   Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC= 6cm, BC= 10cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.

Bài 48:

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết 3AB= 4AC và BC= 20cm. Tính độ dào các cạnh AB và AC.

Bài 49:

    Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì. Vẽ BH vuông góc với d tại H, CK vuông góc với d tại K. Chứng minh rằng tổng BH² + CK² không phụ thuộc vào đường thẳng d.

Bài 50:

Cho tam giác ABC vuông tại A , Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng

AH² =  BH.CH

Bài 50: 

     Cho tam giác ABC có góc A= 30  ĐỘ  . Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD. Chứng minh rằng AD² = AB² + AC²

Bài 51:

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM= BA, CN = CA. Tính góc MAN.

Bài 52:

    Cho tam giác ABC vuông tại A( AB< AC), phân giác AD. Từ D vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M. Tings góc MBD.

Bài 53:

     Tam giác ABC có góc B= 750, góc C = 600. kéo dài BC một đoạn thẳng CD sao cho CD= ½ BC. Tính góc ABD.

Bài 54:

    Cho tam giác ABC, AB= AC. Tia phân giác của góc B và Góc C cắt AC và AB lần lượt ở D và E. Chứng minh rằng:

    a/ Tam giác AED cân tại đỉnh A

    b/ DE // BC.

    c/ BE= ED = DC.

Bài 55:

     Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở E, qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại K. Chứng minh:

    a/ Tam giác AED cân.

    b/ AE= BK.

Bài 56

    Cho tam giác ABC có góc B = 45⁰, góc A = 15⁰. Trên tia đối tia CB lấy điểm D sao cho CD= 2BC. Kẻ DE vuông góc với AC.

  a/ Chứng minh EB= ED.

  b/ Tính góc ADB.

Bài 57

    Cho tam giác ABC, góc A= 60⁰. Tia phân giác góc B và góc C cắt các cạnh đối diện tại D và E, BD và CE cắt nhau tại O. Tia phân giác của ggocs BOC cắt BC tại F. Chứng minh rằng:

    a/ OD= OE = OF.

    b/ Tam giác DEF đều,

Bài 58:

    Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3 AB. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F.

Chứng minh rằng:

    a/ DF vuông góc với BC.

    b/ Tamgiacs DEF đều.

Bài 59:

     Cho tam giác ABC có góc B= 50⁰. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E.

   a/ Chứng minh tam giác AEB cân.

   b/ Tính góc BAE.

Bài 60:

    Cho tam giác cân ABC( AB= AC). Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC.CMR:

     a/ DE//BC.

     b/

     c/

Bài 61:

    Cho . Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh rằng: DE= BD + CE.

Bài 62

    Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD= BE = CF.chứng minh tam giác DEF đều.

Bài 63:

    Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM= CN= AB.   a/ chứng minh tam giác AMN cân.

         b/ tính góc MAN.

Bài 64:

    Cho có góc A = 600. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC.

    a/ Chứng minh M,A, N thẳng hàng.

   b/ BM= CN.

Bài 65:

    Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối AB lấy điểm D, trên tia đối AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:

     a/ DE//BC

     b/ BE= CD

     c/

Bài 66:

     Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Vẽ phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABD và ACE.

    a/ Chứng minh BE= CD.

    b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC.

Bài 67:

    Cho tam giác ABC vuông cân ở A, biết AB= AC= 4cm.

  a/ tính BC,

  b/ từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BC. Chứng minh D là trung điểm của BC.

  c/ từ D kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh tam giác AED là tam giác vuong cân.

  d/ tính AD.

Bài 68:

    Cho tam giác ABC vuông tại A( AB> AC).

   a/ cho AB= 8cm, BC= 10cm. Tính AC

   b/ gọi M là trung điểm của BC.trên tia đối MA lấy D sao cho MD= MA. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, trên tia đối của HA lấy E sao cho HE = HA. CMR:

   1. CD vuông góc với AC.     2.  cân.     3. BD= CE.             4. AE vuông góc với ED.

Bài 69:

    Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Vẽ HD vuông góc với AB tại D. HE vuông góc với AC tại E. CMR:

   a/ BH= HC                          b/ BD= CE

Bài 70

.  Cho rABC , kẻ AH BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm . Tính  độ dài các cạnh AH, HC, AC?

Bài 71:

Cho tam giác cân ABC c©n t¹i A (AB = AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

          a) Chứng minh .

          b) Chứng minh BE = CD.

          c) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh  c©n t¹i K.

          d) Chøng minh AK là tia phân giác của  

Bài 72:

Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ  ( ). Biết AB = 13 cm; AH = 12 cm và

HC = 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 73:

: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm Q và R sao cho BQ = CR.

a)    Chứng minh  AQ = AR

b)    Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh :

Bài 74:

Cho ABC cã AB = AC = 5 cm; BC = 8 cm. KÎ AH  BC (HBC)

a) Chøng minh HB = HC vµ

b) TÝnh ®é dµi AH.

c) KÎ HD  AB (DAB); HE  AC (EAC). Chøng minh r»ng: HDE c©n.

Bài 75:

.  Cho rABC , kẻ AH BC. 

Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm (hình vẽ).

a)    Biết . Tính  ?

b)    Tính  độ dài các cạnh AH, HC, AC.

Bài 76:

. Cho tam gíac ABC cân tại  A. Kẽ  , I BC.

a) CMR: I là trung điểm của  BC.

b) Lấy điểm  E thuộc AB  và điểm F thuộc AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng:IEF là tam giác cân.

c) Chứng minh rằng: EBI = FCI.

Bài 77:

: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với

9; 12 và 15 

Bài 78:

Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ NA vuông góc với Ox  (AOx), NB vuông góc với Oy (B Oy)

      a. Chứng minh:   NA = NB.

      b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

      c. Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E. Chứng minh: ND = NE.

      d. Chứng minh ONDE

Bài 79:

 Tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC  ( HBC ). Tính AH biết: AB:AC = 3:4 và BC = 10 cm.

Bài 80:

:  Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (AOx), KB vuông góc với Oy ( BOy)

      a. Chứng minh:   KA = KB.

      b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

      c. Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E. Chứng minh: KD = KE.

      d. Chứng minh OKDE

Bài 81:

:  Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I.

a)    Chứng minh

b)    So sánh góc IBE và góc ICD.

c)    AI cắt BC tại H. Chứng minh  tại H.

Bài82:

. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ

a)    Chứng minh

b)    Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.

c)    Kẻ . Chứng minh AE = AD.

d)    Chứng minh ED // BC.

Bài 83:

. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I.

a)    Chứng minh

b)    So sánh góc IBE và góc ICD.

c)    AI cắt BC tại H. Chứng minh  tại H.

Bài 84:

Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ

1)    Chứng minh

2)    Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.

3)    Kẻ . Chứng minh AE = AD.

4)    Chứng minh ED // BC.

Bài 85:

. Cho tam giác MNP cân tại N. Trên tia đối của tia MP lấy điểm I, trên tia đối của tia PM lấy                             

            điểm K sao cho MI = PK.            

a)Chứng minh: DNMI = DNPK   ;

b)Vẽ NH ^ MP, chứng minh DNHM = DNHP và HM = HP                  

c)Tam giác NIK là tam giác gì? Vì sao?                              

Bài 86:

ChoABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH  BC ( H  BC ).                                                          

Gọi K là giao điểm của AH và BE. Chứng minh rằng:

a/.  ABE =  HBE                        b/. BE là đường trung trực của AH

Bài 87:

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ^ BC

a)Chứng minh: DAHB = DAHC                ; b)Vẽ HM ^ AB, HN ^ AC. Chứng minh DAMN cân                     

c)Chứng minh MN // BC                 ; d)Chứng minh AH² + BM² = AN² + BH²                 

Bài 88:

Cho tam giác ABC , có AC < AB , M là trung điểm BC, vẽ phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với  AD tại  H, đường thẳng này cắt tia AC tại F ,cắt AB tại E. Chứng minh rằng :

a)  AFE cân                                                                                                                     

b) Vẽ đường thẳng Bx // EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng : KF = BE

c) Chứng minh rằng :  AE =

Bài 89:

 Cho ΔABC vuông tại A, M là trung điểm BC, vẽ MH AB. Trên tia đối tia MH lấy điểm K sao cho

        MK = MH.

a).CMR:  ΔMHB = ΔMKC    b).CMR: AC = HK

c).CH cắt AM tại G, tia BG cắt AC tại I. CMR: I là trung điểm AC