Ta có điều kiện  của bất phương trình là 

\(x^2+2x-8>0\)

Khi đó ta có thể viết bất phương trình dưới dạng :

\(\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2+2x-8\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}16\)

Vì cơ số \(\frac{1}{2}\) nhỏ hơn 1 nên bất phương trình trên tương đương với hệ

\(\begin{cases}x^2+2x-8>0\\x^2+2x-8\le16\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x<-4Vx>2\\-6\le x\le4\end{cases}\)\(-6\le\)x\(\le-4\) và 2<x\(\le4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

\(D=\left(-6;4\right)\cup\left(2;4\right)\)

Nhận xét rằng \(\sqrt{5}-2=\left(\sqrt{5}-2\right)^{-1}\)

Do đó bất phương trình có thể viết thành :

\(\left(\sqrt{5}-2\right)^{x+1}\ge\left[\left(\left(\sqrt{5}-2\right)^{-1}\right)\right]^{x-3}=\left(\left(\sqrt{5}-2\right)^{3-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+1\ge3-x\)

\(\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

\(D\left(1;+\infty\right)\)

Bất phương trình tương đương với :

\(3^{x^2+2x-15}>3^0\) 

\(\Leftrightarrow x^2+2x-15>0\)

\(\Leftrightarrow x>3\) V x<-5

Vậy tập nghiệm của bất  phương trình là :

\(D=\left(-\infty;-5\right)\cup\left(3;+\infty\right)\)

Đặt \(u=2^x\left(u>0\right)\) thì phương trình trở thành \(u^2-\sqrt{u+6}=6\)

Tiếp tục đặt \(v=\sqrt{u+6}\left(v>6\right)\) thì \(v^2=u+6\) và ta có hệ phương trình đối xứng

\(\begin{cases}u^2=v+6\\v^2=u+6\end{cases}\)

Trừ vế với vế ta được :

\(u^2-v^2=-\left(u-v\right)\Leftrightarrow\left(u-v\right)\left(u+v+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}u-v=0\\u+v+1=0\end{cases}\)

Với u=v ta được \(u^2=u+6\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u=-2\\u=3\end{cases}\) (u=-2 loại)

\(\Leftrightarrow2^x=3\Leftrightarrow x=\log_23\)

Với \(u+v+1=0\) ta được \(u^2+u-5=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\\u=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\end{cases}\) 

Loại \(u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\)

\(\Leftrightarrow2^x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow x=\log_2\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm

\(x=\log_2\frac{-1-\sqrt{21}}{2};x=8\)

đặt t = 2^x ( t >=0 ) pt <=> t^2 - căn(t+6) = 6 <=> t^2 - 6 = căn(t+6)  (DK : t^2-6 >=0 ) pt <=> (t^2-6)^2 = t+6 <=> t^4 - 12t^2 - t + 30 = 0 <=> ( t - 3 ) ( t^3 + 3t^2 - 3t -10 ) =0 (so với ĐK ) <=> t =3 , với t = 3 <=> 2^x = 3 <=> x = log 3 của 2 ( hay = 1,584962501 ) là nghiệm của pt . ( chúc bạn học tốt )

Điều kiện :

\(\begin{cases}x^2-4x+5>0\\3+\log_2\left(x^2-4x+5\right)\ge0\\5-\log_2\left(x^2-4x+5\right)\ge0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+5\le2^5\)

\(\Leftrightarrow2-\sqrt{29}\le x\)\(\le2+\sqrt{29}\)

Đặt  \(\begin{cases}u=\sqrt{3+\log_2\left(x^2-4x+5\right)}\\v=\sqrt{5-\log_2\left(x^2-4x+5\right)}\end{cases}\)  \(\left(v,u\ge0\right)\)

Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}u^2+v^2=8\\u+2v=6\end{cases}\)

Giải ra ta được :

\(\begin{cases}u=2\\v=2\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}u=\frac{2}{5}\\v=\frac{14}{5}\end{cases}\)

Từ đó suy ra \(\log_2\left(x^2-4x+5\right)=1\) hoặc \(\log_2\left(x^2-4x+5\right)=\frac{-71}{25}\) và tìm được 4 nghiệm của phương trình

Lấy Logarit cơ số 3 hai vế, ta có phương trình tương đương :

\(\log_3\left(3^x.2^{x^2}\right)=\log_33^x+\log_32^{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x+x^2\log32=0\)

Do đó phương trình có 2 nghiệm là \(x=0;x=\frac{-1}{\log_33}=-\log_33\)

8\(^x\)\(=\)9\(^x\)

\(\Leftrightarrow\)(\(\frac{8}{9}\))\(^x\)\(=\) 1

\(\Leftrightarrow\) x \(=0\)

Lấy Logarit cơ số 2 hai vế ta được phương trình tương đương

\(\log_22^{3^x}=\log_23^{2^x}\)

\(\Leftrightarrow3^x=2^x.\log_23^{ }\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^x=\log_23\)

Do đó \(x=\log_{\frac{3}{2}}\log_23\) là nghiệm của phương trình

Phương trình đã cho tương đương với

\(2^{5.\frac{x+5}{x-7}}=2^{-2}.5^{3.\frac{x+17}{x-3}}\) \(\Leftrightarrow2^{\frac{7x+11}{x-7}}=5^{\frac{3x+51}{x-3}}\)

Lấy Logarit cơ số 2 hai vế, ta có :

\(\frac{7x+11}{x-7}=\frac{3x+51}{x-3}\log_25\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(7-3\log_25\right)x^2-2\left(5+15\log_2x\right)x-\left(33-357\log_25\right)=0\\x\ne7,x\ne3\end{cases}\)

Phương trình bậc 2 trên có :

\(\Delta'=1296\log_2^2-2448\log_25+256>0\)

Nên có nghiệm \(x=\frac{5+15\log_25\pm\sqrt{\Delta'}}{7-3\log_25}\)

Hai nghiệm này đều thỏa mãn vì chúng đều khác 7 và 3

\(AA'\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{A'BA}\) là góc giữa A'B với đáy

Suy ra : \(\widehat{A'BA}=60^o\Rightarrow AA'=AB.\tan\widehat{A'BA}=a\sqrt{3}\)

Do đó \(V_{ABC.A'B'C'}=AA'.S_{\Delta ABC}=\frac{3a^2}{4}\)

Gọi  K là trung điểm cạnh BC, suy ra Tam giác MNK vuông tại K, có :

\(MK=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};NK=AA'=a\sqrt{3}\)

Do đó : \(MN=\sqrt{MK^2+NK^2}=\frac{a\sqrt{13}}{2}\)

Tam giác A'AC vuông cân tai A và A'C=a nên A'A=AC=\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Do đó : \(AB=B'C'=\frac{a}{2}\)

\(V_{ABB'C}=\frac{1}{3}B'C'.S_{\Delta ABB'}=\frac{1}{6}B'C'.AB.BB'=\frac{a^3\sqrt{2}}{48}\)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác A'AB. Ta có

\(\begin{cases}AH\perp A'B\\AB\perp BC\end{cases}\)\(\Rightarrow AH\perp\left(A'BC\right)\)

Nghĩa là \(AH\perp\left(BCD'\right)\Rightarrow AH=d\left(A,\left(BCD'\right)\right)\)

Ta có :

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AA'^2}\)

Do đó \(d\left(a,\left(BCD'\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)