Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{\left(b-1\right).1}+b.\sqrt{\left(a-1\right).1}\le a.\frac{b}{2}+b.\frac{a}{2}=ab\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2

bạn ơi có nhầm lẫn j ko bạn

đề là C/M a\(\sqrt{b+1}\)+ b\(\sqrt{a-1}\)<= ab mà

sao bạn làm là a\(\sqrt{b-1}\)+ b\(\sqrt{a-1}\)

a) \(ĐK:y-2x+1\ge0;4x+y+5\ge0;x+2y-2\ge0,x\le1\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}y-2x+1=0\\3-3x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\-1=\sqrt{10}-1\end{cases}}\)(không thỏa mãn)

Th2: \(x,y\ne1\)

\(2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(2x-y-1\right)=\frac{x+y-2}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}+y-2x+1\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}+y-2x+1>0\)nên x + y - 2 = 0

Thay y = 2 - x vào phương trình \(x^2-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\), ta được: \(x^2+x-3=\sqrt{3x+7}-\sqrt{2-x}\)\(\Leftrightarrow x^2+x-2=\sqrt{3x+7}-1+2-\sqrt{2-x}\)\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-1\right)=\frac{3\left(x+2\right)}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{x+2}{2+\sqrt{2-x}}\)\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{2-x}}+1-x\right)=0\)

Vì \(x\le1\)nên\(\frac{3}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{2-x}}+1-x>0\)suy ra x = -2 nên y = 4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (-2;4)

b) \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=5\\x^3+2y^3=10x-10y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(x^2+y^2\right)=10\left(1\right)\\x^3+2y^3=10\left(x-y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (1) vào (2), ta được: \(x^3+2y^3=2\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)\Leftrightarrow\left(2y-x\right)\left(x^2+2y^2\right)=0\)

* Th1: \(x^2+2y^2=0\)(*)

Mà \(x^2\ge0\forall x;2y^2\ge0\forall y\Rightarrow x^2+2y^2\ge0\)nên (*) xảy ra khi x = y = 0 nhưng cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ

* Th2: 2y - x = 0 suy ra x = 2y thay vào (1), ta được: \(y^2=1\Rightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm2\) 

Vậy hệ có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;1\right);\left(-2;-1\right)\right\}\)

2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)

Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1

3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)

Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)

\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(ĐK:x\ge0\)

\(y=x-4\sqrt{x}-1=\left(\sqrt{x}\right)^2-4\sqrt{x}+4-5=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-5\ge-5\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 4

ĐKXĐ : \(x\ge0\)

Ta có :

\(y=x-4\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow y=x-2.2\sqrt{x}+4-5\)

\(\Leftrightarrow y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-5\ge-5\)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = -5 \(\Leftrightarrow x=4\)

a+b+c = ((a+b)+(a+c)+(b+c))/2

a) Vì m // n nên góc A so le trong với góc B₁

    mà góc A₁ = 90^o

     => góc B₁ = 90^o

b) Vì m // n nên góc C₁ so le trong với góc D₂

   mà góc C₁ = 145^o

     => góc D₂ = 145^o

     Vì m // n nên góc C₁ trong cùng phía với góc D₃ nên

    C₁ + D₃ = 180^o

    145^o + D₃ = 180^o

               D₃ = 180^o- 145^o

                  D₃ = 35^o

Vì D₂ đối đỉnh với D₄ 

mà D₂ = 145^o

=> D₄ = 145^o

c) Vì C₁ kề bù với C₃ nên

C₁ + C₃ = 180^o

145^o + C₃ = 180^o

            C₃ = 180^o - 145^o

            C₃ = 35^o₁

Vì D₃ đối đỉnh với D₁ 

mà D₃ = 35^o

=> D₁ = 35^o

-> C₃ + D₁ = 35^o ​+ 35^o = 70^o

a) Theo hình vẽ ta có : đ.thẳng AB vuông góc vs đg thẳng m

Mà , m // n => AB vuông góc vs n => B₁ là góc vuông => B₁ = 90 độ

b) vì m // với n => góc C1 = góc D2 = 145 độ ( 2 góc so le trong ) => D2 = 145 độ

Vì D2 và D4 là 2 góc đối đỉnh => D2 = D4 = 145 độ => D4 = 145 độ

Ta có : D4+D3 = 180 độ (2 góc kề bù)

=> D3 = 180 độ - D4 = 180 độ - 145 độ = 35 độ

c) Vì m // n => D3 = C3 = 35 độ (2 góc so le trong) => C3 = 35 độ

Vì D3 và D1 đối đỉnh => D3 = D1 = 35 độ

=> C3 + D1 = 35 độ + 35 độ = 70 độ

Bài làm của ông a :))

đk: \(-\sqrt[4]{2}\le x\le\sqrt[4]{2}\)

Nếu x = 0 thay vào ta được PT không có nghiệm

Nếu x khác 0 thì ta có: \(x^2\cdot\sqrt[4]{2-x^4}=x^4-x^3+1\)

\(\Leftrightarrow x^2\cdot\sqrt[4]{2-x^4}+x^3=x^4+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{2-x^4}+x=x^2+\frac{1}{x^2}\)

Đến đây ta sẽ sử dụng 2 BĐT quá là quen thuộc, Cauchy và Bunyakovsky!

Áp dụng Cauchy ta được: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\) 

Dấu "=" xảy ra khi: \(x^2=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^4=1\Rightarrow x^2=1\)

Mặt khác, áp dụng Bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[4]{2-x^4}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(\sqrt{2-x^4}+x^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{2-x^4}+x^2\right)\le4\left(\sqrt{2-x^4}+x^2\right)^2\le4\cdot2\cdot\left(2-x^4+x^2\right)=8\cdot2=16\)

\(\Rightarrow\sqrt[4]{2-x^4}+x\le\sqrt[4]{16}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = 1

Vậy x = 1

            \(x^2.\sqrt[4]{2-x^4}=x^4-x^3+1\left(1\right)\)

Ta có x = 0 không là \(n_0\) của (1)

Với \(x\ne0\), Ta có 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt[4]{2-x^4}=x^2-x+\frac{1}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt[4]{2-x^4}=x^2+\frac{1}{x^2}\left(2\right)\)

\(VP_{\left(2\right)}=x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\)(cô si )

\(VT_{\left(2\right)}=x+\sqrt[4]{2-x^4}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+\sqrt{2-x^4}\right)}\le\sqrt{2\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+2-x^4\right)}}\)\(=\sqrt{2.\sqrt{2.2}}=2\)

Do đó \(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}VP_{\left(2\right)}=2\\VT_{\left(2\right)}=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=\sqrt[4]{2-x^4}\\x^2=\sqrt{2-x^4}\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)

Kết luận Vậy phương trình (1) có \(n_0\)duy nhất \(x=1\)

kkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

Vì x, y > 0

Đặt \(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=5k\\y=4k\end{cases}}\)( k > 0 ) 

x² - y² = 4

<=> ( 5k )² - ( 4k )² = 4

<=> 25k² - 16k² = 4

<=> 9k² = 4

<=> k² = 4/9

<=> k = 2/3 ( vì k > 0 )

=> \(\hept{\begin{cases}x=5\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\\y=4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\end{cases}}\)

heeweghjk/k    uubunnnnnnnnnnbhtytcvbyu74xui  b                   bbbbfk44xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx56yh6 6rrrrr6r iiiii6irixmx rj 6 5556666666crlxxx8 rr6xxxxxxxxxxxxxxtr4444 tyjrttttttttttttttttr5xyyu 

A = ( x - 5 )( x² + 5x + 25 ) - x³ + 2 ( đã sửa )

= x³ - 5³ - x³ + 2

= x³ - 125 - x³ + 2

= -123 ( không phụ thuộc vào biến )

=> đpcm

B = ( 2x + 3 )( 4x² - 6x + 9 ) - 8x( x² + 2 ) + 16x + 5

= ( 2x )³ + 3³ - 8x³ - 16x + 16x + 5

= 8x³ + 27 - 8x³ - 16x + 16x + 5

= 27 + 5 = 32 ( không phụ thuộc vào biến )

=> đpcm

\(A=\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)-x^3+2\)

\(=x^3-125-x^3+2\)

\(=-123\left(đpcm\right)\)

\(B=\left(2x+3\right)\left(4x^2-6x+9\right)-8x\left(x^2+2\right)+16x+5\)

\(=8x^3+27-8x^3-16x+16x+5\)

\(=32\left(đpcm\right)\)