Đặt $t=e^x$ thì $dt=e^xdx$ nên $dx=\dfrac{1}{t}dt$

\(I=\int_2^3 \dfrac{1}{t(t-1)}dt=\int_2^3 \left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\ln|t-1|\Big|_2^3-\ln |t|\Big|_2^3=2\ln2-\ln3\)

\(I=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.cos^3 xdx=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.(1-\sin^2 x)d(\sin x)=\dfrac{\sin^3 x}{3}\Big|_0^{\pi/2}-\dfrac{\sin^5 x}{5}\Big|_0^{\pi/2}=\dfrac{2}{15}\)

Do đó diện tích hình phẳng là $S=|I|=\dfrac{2}{15}$

\(sin 2x-(2sin^2 x-sin2x-2sinx-1/2.\sin 2x+\cos^2x+\cos x-3\sin x-3\cos x+3)=0\)

\(5\sin x.\cos x+5\sin x+2\cos x-\sin^2x-4=0\)

\(\cos x(5\sin x+2)=\sin^2x-5\sin x+4=(\sin x-1)(\sin x -4)\)

Bình phương 2 vế suy ra

\((1-\sin^2 x)(5\sin x+2)^2=(1-\sin x)^2(\sin x-4)^2\)

TH1: \(\sin x=1\)

TH 2: \((1+\sin x)(5\sin x+2)^2=(1-\sin x)(\sin x-4)^2\)

Cậu sống ở đâu hở ? Lấy đâu ra toán khó thế ?

Câu 3 sửa \(\int\limits_1^{3/2} \)

- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị

- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\) 

hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)

\(y=x^4+mx^3-2x^2-2mx+1\) (1)

Đạo hàm \(y'=4x^2+3mx^2-4x-3m=\left(x-1\right)\left[4x^2+\left(4+3m\right)x+3m\right]\)

                \(y'=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=1\\4x^2+\left(4+3m\right)x+3m=0\left(2\right)\end{cases}\)

Hàm số có 2 cực tiểu \(\Leftrightarrow\) y có 3 cực trị \(\Leftrightarrow\)\(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\Delta=\left(3m-4\right)^2>0\\4+4+3m+3m\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(m\ne\pm\frac{4}{3}\)

Giả sử : Với \(m\ne\pm\frac{4}{3}\), thì \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\)

Từ bảng biến thiên  ta thấy hàm số  có 2 cực tiểu

Kết luận : Vậy hàm số có 2 cực tiểu khi \(m\ne\pm\frac{4}{3}\)

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=-2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=9\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (-2;9) không thuộc đường thẳng

\(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=-3\) không thỏa mãn

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài

Ta có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là  \(x_1,x_2\)

\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

\(x^3+mx+2=0\Rightarrow m=-x^2-\frac{2}{x}\) , \(x\ne0\)

Xét \(f\left(x\right)=-x^2-\frac{2}{x}\Rightarrow f'\left(x\right)=-2x+\frac{2}{x^2}=\frac{-2x^3+2}{x^2}\)

Ta có : Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất \(\Leftrightarrow m>-3\)

: 

\(y'\left(x\right)=x^2+2\left(m^2-m+2\right)x+3m^2+1\) \(\Rightarrow y''\left(x\right)=2x+2\left(m^2-m+2\right)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 thì \(\begin{cases}y'\left(-2\right)=0\\y''\left(-2\right)=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}-m^2+4m-3=0\\m^2-m>0\end{cases}\)

                                                                               \(\Rightarrow\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m-3\right)=0\\m\left(m-1\right)>0\end{cases}\)

                                                                                \(\Rightarrow m=3\)