ĐẶT \(\sqrt{X}=a,\sqrt{x-1}=b\)

=> PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI:

\(a+b+ab=1\)

<=>\(a+1+b\left(a+1\right)=2\)

<=> (a+1)(b+1) = 2

<=> a = 1

<=> x = 1

đặt ẩn

y =2n+1

x+9n=998

x =998-9n

y=2n+1

a) nghiệm là \(\left\{{}\begin{matrix}x=998-9n\\y=2n+1\end{matrix}\right.n\in Z\)

b)P=xy =(998-9n)(2n+1)

P= \(\dfrac{4020025-\left(36n-1987\right)^2}{72}\le\dfrac{4020025}{72}\)

\(n\in Z\Rightarrow max\left(P\right)=\left[{}\begin{matrix}P\left(55\right)\\P\left(56\right)\end{matrix}\right.\)

\(P\left(55\right)=4020025-49=55833\)

\(\dfrac{4020025-841}{72}=55822\)

vậy Max(P) =55833 => dpcm

gọi số bài điểm 8;9;10 là x;y;z , áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có:

x+y+z =100

x/8 =y/9=z/10

k = (x+y+z)/(8+9+10) = 100/27= 2,7

x= 8.2,7 = 21,6 bài ( đề cho sai...)

tớ nghĩ đề không sai, hậu duệ anhxtanh học nhiều lại đâm ra rối loạn tạm thời . t bấm máy thử được cái vd thỏa mãn: 3 bài 8đ, 4 bài 9đ và 4 bài 10đ

Gọi số bài 8,9,10 điểm lần lượt là a,b,c (a,b,c thuộc Z+)

Theo đề, ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a+9b+10c=100\\a+b+c=11\end{matrix}\right.\)

(vấn đề là giải cái thứ này ra, nhưng lực lượng nơ-ron bên này còn non trẻ quá, anh chị nào giải giùm để học hỏi kinh nghiệm với, xin cảm ơn ^^!)

Lợi dụng Cauchy-Schwarz' inequality ta có:

\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^2}}\)

\(=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{bc+ca}{a+b}+\dfrac{ab+ca}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Ta có P=\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\dfrac{ac}{\sqrt{ac+\left(a+b+c\right)b}}\)

=\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^2}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+ac+ab+a^2}}+\dfrac{ac}{\sqrt{ac+ab+bc+b^2}}\)

=\(\dfrac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)}}+\dfrac{ac}{\sqrt{c\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)}}\)

=\(\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\dfrac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}}\)

áp dụng bđt Cói ta có:

\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{2+c}{2}=1+\dfrac{c}{2}\)

\(\sqrt{\left(b+á\right)\left(c+a\right)}\)

a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

A = \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{1-x}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{2\sqrt{x}}{2\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

b) Khi \(x=\dfrac{4}{9}\) (thảo mãn ĐKXĐ) thì giá trị của A là:

\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4}{9}}+1}=-\dfrac{3}{5}\)

Vậy .....

c)

+) Khi \(A=-\dfrac{1}{2}\) thì ta có:

\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (Loại do không thỏa mãn ĐKXĐ)

+) Khi \(A=\dfrac{-1}{4}\) thì ta có:

\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=9\) (thỏa mãn)

Vậy để A = \(-\dfrac{1}{4}\) thì x = 9

a/ ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne1\)

\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{1-x}\)

= \(\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{2-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{-2\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}\)

b/

Thay \(x=\dfrac{4}{9}\) vào A ta được:

\(A=\dfrac{-1}{\sqrt{\dfrac{4}{9}}+1}=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{-3}{5}\)

Vậy khi \(x=\dfrac{4}{9}\) thì \(A=\dfrac{-3}{5}\)

c/ Với \(x\ge0,x\ne1\)

* Để \(A=\dfrac{-1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-2=-\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\) ( ktmđk)-Loại

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn \(A=\dfrac{-1}{2}\)

* Để \(A=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-4=-\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\) (tmđk)

Vậy để \(A=\dfrac{-1}{4}\) thì \(x=9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\right]^4}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}}\right)^4\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\\\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}\ge1+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}+\dfrac{1}{abc}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}\ge\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\) (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{abc+1+1}{3}=\dfrac{abc+2}{3}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge1+\dfrac{3}{abc+2}\)

\(\Rightarrow3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\) (3)

Từ (1) và (2) và (3)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\) ( đpcm )

dấu = xảy ra

a) Ta có: \(\widehat{EAD}=90^o\) theo giả thiết (1)

\(\widehat{ADH}=90^o\) : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (2)

\(\widehat{AEH}=90^o\) : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra HDAE là hình chữ nhật

b) Ta phải chứng minh \(\widehat{ECB}+\widehat{EDB}=180^o\)

Lại có: \(\widehat{EDB}=\widehat{EDH}+\widehat{HDB}=90^o+\widehat{EDH}\)

=> Phải chứng minh \(\widehat{ECB}+\widehat{EDH}=90^o\)

Thật vậy, \(\widehat{ECB}+\widehat{EAH}=90^o\)

Mà \(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\) vì HDAE là hình chữ nhật theo chứng minh trên

=> \(\widehat{ECB}+\widehat{EDH}=90^o\)

=> BDEC là tứ giác nội tiếp. (đpcm)

c) Gọi giao điểm của OA và DE là K

Ta có: \(\widehat{ECB}+\widehat{EDH}=90^o\) (*)

Mặt khác: \(\widehat{AED}=\widehat{EDH}\) vì HEAD là hình chữ nhật (**)

Do \(\Delta OCA\) cân tại O nên \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\) (***)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat{EKA}=90^o\)

=> \(OA\perp DE\) (đpcm)

d) Chưa nghĩ ra :(