\(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a-1}=\left(1-\frac{1}{b-1}\right)+\left(1-\frac{1}{c-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a-1}=\frac{b-2}{b-1}+\frac{c-2}{c-1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a-1}=\frac{b-2}{b-1}+\frac{c-2}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{b-2}{b-1}.\frac{c-2}{c-1}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b-1}\ge2\sqrt{\frac{a-2}{a-1}.\frac{c-2}{c-1}}\)

\(\frac{1}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{b-2}{b-1}.\frac{a-2}{a-1}}\)

Nhân các BĐT theo vế : 

\(\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\ge\frac{8\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow8\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le\frac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{2}\)

Vậy maxH = 1/8 <=> a = b = c = 5/2

????????????????????????????????????????????

bạn đăng j vậy

\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

= \(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\left|\sqrt{12}+1\right|}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12}-1}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

= \(\left(2\sqrt{3+\left|\sqrt{3}-1\right|}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

= \(\left(2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

= \(\left(2\sqrt{2-\sqrt{3}}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

=\(\left(2.\frac{\left|1-\sqrt{3}\right|}{\sqrt{2}}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

= \(\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

= \(1\)

lời giải ở đây Câu hỏi của Hỏi Làm Gì - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

mà bn vt đề sai thì fai

a/ Điều kiện \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne\frac{1}{9}\end{cases}}\) \(\Rightarrow0\le a\ne\frac{1}{9}\)

b/ \(M=\left(\frac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-3\sqrt{a}}-\frac{5\sqrt{a}+3}{9a-1}\right):\left(a-\frac{2\sqrt{a}-6}{3\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\frac{2\sqrt{a}\left(1-3\sqrt{a}\right)+\left(\sqrt{a}-2\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)+5\sqrt{a}+3}{\left(1-3\sqrt{a}\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)}:\left(\frac{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}{3\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\frac{2\sqrt{a}-6a+\sqrt{a}+3a-2-6\sqrt{a}+5\sqrt{a}+3}{\left(1-3\sqrt{a}\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)}.\left(\frac{3\sqrt{a}-1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\right)\)

\(=\frac{3a-2\sqrt{a}-1}{1+3\sqrt{a}}.\frac{1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\)

\(=\frac{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{1+3\sqrt{a}}.\frac{1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\)

Hình như đề sai rồi bạn :(

a/ Điều kiện xác định : \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne9\end{cases}\Leftrightarrow}0\le a\ne9\)

b/ \(M=\left(\frac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-3\sqrt{a}}-\frac{5\sqrt{a}+3}{9a-1}\right):\left(1-\frac{2\sqrt{a}-6}{3\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\frac{2\sqrt{a}\left(3\sqrt{a}-1\right)+\left(2-\sqrt{a}\right)\left(3\sqrt{a}+1\right)-5\sqrt{a}-3}{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(3\sqrt{a}-1\right)}:\frac{\sqrt{a}+5}{3\sqrt{a}-1}\)

\(=\frac{6a-2\sqrt{a}+6\sqrt{a}+2-3a-\sqrt{a}-5\sqrt{a}-3}{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(3\sqrt{a}-1\right)}.\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}\)

\(=\frac{3a-2\sqrt{a}-1}{3\sqrt{a}+1}.\frac{1}{\sqrt{a}+5}\)

\(=\frac{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+5\right)}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}\)

c/ \(a=9-4\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-2\right)^2\) thay vào M được

\(\frac{\sqrt{5}-2-1}{\sqrt{5}-2+5}=\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+3}=\frac{-7+3\sqrt{5}}{2}\)

d/ \(M=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}=\frac{\sqrt{a}+5-6}{\sqrt{a}+5}=1-\frac{6}{\sqrt{a}+5}\)

Với mọi \(0\le a\ne9\) thì ta luôn có \(\sqrt{a}+5\ge5\Leftrightarrow\frac{6}{\sqrt{a}+5}\le\frac{6}{5}\Leftrightarrow-\frac{6}{\sqrt{a}+5}\ge-\frac{6}{5}\Leftrightarrow1-\frac{6}{\sqrt{a}+5}\ge1-\frac{6}{5}\)

\(\Rightarrow M\ge-\frac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng \(-\frac{1}{5}\) khi a = 0

\(pt\Leftrightarrow\left(\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{4-x^2}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)^2-1+\frac{5}{2}\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)+2=0\)

Đặt \(\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=t\)pt thành

\(t^2-1+\frac{5}{2}t+2=0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t=-2\\t=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)(loại)

-->PT vô nghiệm

\(\frac{3}{x^2}\)hay\(\frac{4}{x^2}\)

a) Xét tam giác AEB và tam giác MAD có:

\(\widehat{ABE}=\widehat{MDA}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{AEB}=\widehat{MAD}\) (So le trong)

Vậy nên \(\Delta AEB\sim\Delta MAD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{MA}=\frac{BE}{DA}\Rightarrow AE.DA=AM.BE\)

\(\Rightarrow AE^2.a^2=MA^2.BE^2\Rightarrow AE^2.a^2=MA^2\left(AE^2-AB^2\right)\)

\(\Rightarrow AE^2.a^2=MA^2.AE^2-MA^2.a^2\Rightarrow\left(AE^2+MA^2\right).a^2=AE^2.AM^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{a^2}\)

a) Xét \(\frac{a^2}{AE^2}+\frac{a^2}{AM^2}=\frac{CM^2}{ME^2}+\frac{CE^2}{ME^2}=1\)(ĐL Thales và Pytagoras). Suy ra \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{a^2}.\)

b) Ta dễ thấy \(\Delta\)ACG = \(\Delta\)ACM (c.g.c), suy ra ^AGC = ^AMC = ^BAE. Từ đây \(\Delta\)ABE ~ \(\Delta\)GBA (g.g)

Vậy BE.BG = AB² = BO.BD nên \(\Delta\)BOE ~ \(\Delta\)BGD (c.g.c) (đpcm).

c) Gọi CH giao AB tại K. Theo hệ quả ĐL Thales \(\frac{CM}{BA}=\frac{EC}{EB}=2\)(Vì \(BE=\frac{a}{3}\))\(\Rightarrow CM=2a\)

Ta cũng có \(\frac{CF}{FM}=\frac{KB}{BA}\), suy ra \(\frac{\frac{a}{2}}{2a-\frac{a}{2}}=\frac{KB}{a}\Leftrightarrow KB=\frac{a}{3}\left(=BE\right)\)

Từ đó \(\Delta\)EKB vuông cân tại B, mà \(\Delta\)ABC vuông cân tại B nên E là trực tâm \(\Delta\)ACK

Suy ra AE vuông góc CK (tại H). Vậy, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông (\(\Delta\)MEC) thì

\(CH^2=HE.HM\Leftrightarrow CH^3=HE.HC.HM\Leftrightarrow CH=\sqrt[3]{HE.HC.HM}\)(đpcm).

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x^2+3xy-7y^2}=a\\\sqrt{3x^2-2xy-y^2}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=x^2+5xy-6y^2\)

Từ đó ta có pt (1)

\(\Leftrightarrow a-b+4\left(a^2-b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1+4a+4b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)a = b

\(\Leftrightarrow x^2+5xy-6y^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+7xy-7y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+6y\right)=0\)

Tới đây thì bài toán đơn giản rồi bạn làm tiếp nhé

a) 9x² - 36

=(3x)²-6²

=(3x-6)(3x+6)

=4(x-3)(x+3)

b) 2x³y-4x²y²+2xy³

=2xy(x²-2xy+y²)

=2xy(x-y)²

c) ab - b²-a+b

=ab-a-b²+b

=(ab-a)-(b²-b)

=a(b-1)-b(b-1)

=(b-1)(a-b)

P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình

Vì \(b\in P;b\ne3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b\text{≡}2\left(mod3\right)\\b\text{≡}1\left(mod3\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b^2\text{≡}4\text{≡}1\left(mod3\right)\\b^2\text{≡}1^2\text{≡}1\left(mod3\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow b^2\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow1993b^2\text{≡}1993\text{≡}1\left(mod3\right)\)

Lại có \(3x\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(2\text{≡}2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow A=3x+2+1993b^2\text{≡}0+2+1\text{≡}3\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(x\in N;b>1\Rightarrow A>0+2+1993.2^2>3\)

\(\Rightarrow\)A là hợp số

Vậy ...

b nguyên tố khác 3

áp dụng t/c "bình phương số lẻ luôn có dạng 3k+1" ta có:

nếu b =2 số chắn duy nhất A=3x+2+1993.4 chia hết cho 3

b^2=3k+1 

A=3x+2+1993(3k+1)=3x+1993.3k+3 luôn chia hết cho 3 với mọi x tự nhiên => dpcm

Từ giả thiết ta có ngay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

Suy ra x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0

Tới đây bạn tự làm nhé :)