Cho các biểu thức: $A=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{5}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{4}{x-1}$ với $0 \leq x \neq 1$.
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4$.
b) Rút gọn biểu thức $B$.
c) Đặt $P=A . B$. Tìm $x$ đề $P$ nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
a) Thay $\mathrm{x}=4$ (tmđk) vào biểu thức $\mathrm{A}$ ta được:
$$A(4)=\dfrac{1}{4} \text {. }$$
b) $B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{5}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{4}{x-1}$
$=\dfrac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)+5(\sqrt{x}+1)+4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{x+7 \sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+6)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1} \text {. }$
c) Ta có $P=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}$, đánh giá được $1<P \leq 6$ và $P \in Z \Rightarrow P \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$
Tìm được $x \in\left\{0 ; 16 ; \dfrac{1}{16} ; \dfrac{4}{9} ; \dfrac{9}{4}\right\}$.
Cho $x, y$ là các số dương và $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1) \geq 4$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\dfrac{x^3+y^3}{x y}$.
Hướng dẫn giải:
- Từ điều kiện $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1) \geq 4$ đánh giá được $x+y \geq 2$.
Do đó đánh giá được $M=\dfrac{x^3+y^3}{x y} \geq x+y \geq 2$.
- Chỉ ra được dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$.
