Phép nhân, phép chia phân số SVIP

I. PHÉP NHÂN PHÂN SỐ

1. Quy tắc nhân hai phân số

Ta đã biết nhân hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên.

Chẳng hạn: \(\dfrac{21}{5}.\dfrac{11}{13}=\dfrac{21.11}{5.13}=\dfrac{231}{65}\).

Cách làm đó vẫn đúng khi nhân hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.

Chẳng hạn: \(\dfrac{-3}{5}.\dfrac{6}{7}=\dfrac{\left(-3\right).6}{5.7}=\dfrac{-18}{35}\).

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

\(\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a.c}{b.d}\) với \(b\ne0\) và \(d\ne0\).

Ví dụ: Tính tích và viết kết quả ở dạng phân số tối giản:

a) \(\dfrac{2}{5}.\dfrac{-3}{7}\);

b) \(\dfrac{-12}{5}.\dfrac{25}{-9}\).

Giải

a) \(\dfrac{2}{5}.\dfrac{-3}{7}=\dfrac{2.\left(-3\right)}{5.7}=\dfrac{-6}{35}\).

b) \(\dfrac{-12}{5}.\dfrac{25}{-9}=\dfrac{\left(-12\right).25}{5.\left(-9\right)}=\dfrac{300}{45}=\dfrac{300:15}{45:15}=\dfrac{20}{3}\).

Chú ý: Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc nhân một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu của phân số đó.

\(m.\dfrac{a}{b}=\dfrac{m.a}{b}\); \(\dfrac{a}{b}.n=\dfrac{a.n}{b}\) với \(b\ne0\).

Ví dụ: Tính:

a) \(2.\dfrac{-5}{3}\);

b) \(\dfrac{7}{11}.\left(-3\right)\).

Giải

a) \(2.\dfrac{-5}{3}=\dfrac{2.\left(-5\right)}{3}=\dfrac{-10}{3}\).

b) \(\dfrac{7}{11}.\left(-3\right)=\dfrac{7.\left(-3\right)}{11}=\dfrac{-21}{11}\).

2. Tính chất của phép nhân phân số

Giống như phép nhân số tự nhiên, phép nhân phân số cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

a) \(\dfrac{3}{4}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{4}{-3}\);

b) \(\dfrac{5}{7}.\dfrac{-2}{11}-\dfrac{5}{7}.\dfrac{9}{11}\).

Giải

a) \(\dfrac{3}{4}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{4}{-3}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{-3}.\dfrac{2}{5}=\left(\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{-3}\right).\dfrac{2}{5}=\left(-1\right).\dfrac{2}{5}=\dfrac{-2}{5}\).

b) \(\dfrac{5}{7}.\dfrac{-2}{11}-\dfrac{5}{7}.\dfrac{9}{11}=\dfrac{5}{7}.\left(\dfrac{-2}{11}-\dfrac{9}{11}\right)=\dfrac{5}{7}.\left(-1\right)=\dfrac{-5}{7}\).

II. PHÉP CHIA PHÂN SỐ

Phân số \(\dfrac{b}{a}\) gọi là phân số nghịch đảo của phân số \(\dfrac{a}{b}\) với \(a\ne0\) và \(b\ne0\).

Lưu ý:

Tích của một phân số với phân số nghịch đảo của nó bằng 1:

\(\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}=1\) với \(a\ne0\) và \(b\ne0\).

Ví dụ: Tìm phân số nghịch đảo của mỗi phân số sau:\(\dfrac{5}{6}\); \(\dfrac{-4}{3}\); \(\dfrac{7}{-9}\).

Giải

Phân số nghịch đảo của phân số \(\dfrac{5}{6}\) là phân số \(\dfrac{6}{5}\).

Phân số nghịch đảo của phân số \(\dfrac{-4}{3}\) là phân số \(\dfrac{3}{-4}\).

Phân số nghịch đảo của phân số \(\dfrac{7}{-9}\) là phân số \(\dfrac{-9}{7}\).

Ta đã biết cách chia hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên. Chẳng hạn: \(\dfrac{8}{3}:\dfrac{3}{2}=\dfrac{8}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{9}\).

Cách làm đó vẫn đúng khi chia hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.

Chẳng hạn: \(\dfrac{-8}{-3}:\dfrac{-3}{2}=\dfrac{-8}{-3}.\dfrac{2}{-3}=\dfrac{-16}{9}\).

Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:

\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c}=\dfrac{a.d}{b.c}\) với \(b,c,d\) khác 0.

Ví dụ: Tính thương và viết kết quả dưới dạng phân số tối giản:

a) \(\dfrac{3}{5}:\dfrac{-9}{7}\);

b) \(\left(-3\right):\dfrac{-7}{5}\).

Giải

a) \(\dfrac{3}{5}:\dfrac{-9}{7}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{7}{-9}=\dfrac{21}{-45}=\dfrac{21:\left(-3\right)}{\left(-45\right):\left(-3\right)}=\dfrac{-7}{15}\).

b) \(\left(-3\right):\dfrac{-7}{5}=\left(-3\right).\dfrac{5}{-7}=\dfrac{\left(-3\right).5}{-7}=\dfrac{-15}{-7}=\dfrac{15}{7}\).

Chú ý: 

Ta có: \(a:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a.d}{c}\)  \(\left(c,d\ne0\right)\);

           \(\dfrac{a}{b}:c=\dfrac{a}{b.c}\) \(\left(b,c\ne0\right)\).

Lưu ý: Thứ tự thực hiện các phép tính với phân số (trong biểu thức không chứa dấu ngoặc hoặc có chứa dấu ngoặc) cũng tương tự như thứ tự thực hiện các phép tính với số nguyên.