Phép cộng, phép trừ phân số SVIP

I. PHÉP CỘNG PHÂN SỐ

1. Quy tắc cộng hai phân số

Ta đã biết cộng hai phân số cùng mẫu. Chẳng hạn: \(\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{3+5}{7}=\dfrac{8}{7}\).

Cách làm đó vẫn đúng khi cộng hai phân số có cùng mẫu mà tử và mẫu là số nguyên.

Chẳng hạn: \(\dfrac{-3}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{\left(-3\right)+5}{7}=\dfrac{2}{7}\).

Lưu ý:

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

\(\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}=\dfrac{a+b}{m}\).

Ví dụ: Tính: \(\dfrac{2}{-3}+\dfrac{5}{-4}\).

Bước 1. Quy đồng mẫu hai phân số

Cụ thể là:

\(\dfrac{2}{-3}=\dfrac{-2}{3}\) và \(\dfrac{5}{-4}=\dfrac{-5}{4}\); BCNN\(\left(3;4\right)=12\);

\(12:3=4\); \(12:4=3\);

\(\dfrac{2}{-3}=\dfrac{\left(-2\right).4}{3.4}=\dfrac{-8}{12}\) và \(\dfrac{5}{-4}=\dfrac{\left(-5\right).3}{4.3}=\dfrac{-15}{12}\).

Bước 2. Cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

Ta có: \(\dfrac{-8}{12}+\dfrac{-15}{12}=\dfrac{\left(-8\right)+\left(-15\right)}{12}=\dfrac{-23}{12}\).

Vậy \(\dfrac{2}{-3}+\dfrac{5}{-4}=\dfrac{-23}{12}\).

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ: Tính: 

a) \(\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{-5}\);

b) \(\dfrac{-7}{8}+\dfrac{-5}{6}\).

Giải

a) \(\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{-5}=\dfrac{4}{5}+\dfrac{-4}{5}=\dfrac{4+\left(-4\right)}{5}=\dfrac{0}{5}=0\).

b) \(\dfrac{-7}{8}+\dfrac{-5}{6}=\dfrac{\left(-7\right).3}{8.3}+\dfrac{\left(-5\right).4}{6.4}=\dfrac{-21}{24}+\dfrac{-20}{24}=\dfrac{\left(-21\right)+\left(-20\right)}{24}=\dfrac{-41}{24}\).

2. Tính chất của phép cộng phân số

Giống như phép cộng số tự nhiên, phép cộng phân số cũng có các tính chất:

• Giao hoán: \(a+b=b+a\);
• Kết hợp: \(\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)\);
• Cộng với số 0: \(a+0=0+a=a\).

Ví dụ: Tính một cách hợp lí: \(\dfrac{3}{13}+\dfrac{-3}{7}+\dfrac{10}{13}+\dfrac{-4}{7}\).

Giải

\(\dfrac{3}{13}+\dfrac{-3}{7}+\dfrac{10}{13}+\dfrac{-4}{7}\)

\(=\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}+\dfrac{-3}{7}+\dfrac{-4}{7}\)

\(=\left(\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}\right)+\left(\dfrac{-3}{7}+\dfrac{-4}{7}\right)\)

\(=\dfrac{3+10}{13}+\dfrac{\left(-3\right)+\left(-4\right)}{7}\)

\(=1+\left(-1\right)=0\).

II. PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

1. Số đối của một phân số

Số đối của phân số \(\dfrac{a}{b}\) kí hiệu là \(-\dfrac{a}{b}\). Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0\).

Lưu ý:

Ta có: \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}\) với \(a,b\inℤ,b\ne0\).

Số đối của \(-\dfrac{a}{b}\) là \(\dfrac{a}{b}\), tức là \(-\left(-\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{a}{b}\).

Ví dụ: Tìm số đối của mỗi phân số sau: \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{-3}{4}\).

Giải

Số đối của phân số \(\dfrac{3}{5}\) là \(-\dfrac{3}{5}\).

Số đối của phân số \(\dfrac{-3}{4}\) là \(-\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{-\left(-3\right)}{4}=\dfrac{3}{4}\).

2. Quy tắc trừ hai phân số

Ta đã biết trừ hai phân số có cùng mẫu. Chẳng hạn: \(\dfrac{8}{9}-\dfrac{5}{9}=\dfrac{8-5}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

Cách làm đó vẫn đúng trừ khi hai phân số có cùng mẫu mà tử và mẫu là số nguyên.

Chẳng hạn: \(\dfrac{-5}{6}-\dfrac{-1}{6}=\dfrac{\left(-5\right)-\left(-1\right)}{6}=\dfrac{-4}{6}=\dfrac{-2}{3}\).

Lưu ý: 

Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu, ta trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu:

\(\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{m}=\dfrac{a-b}{m}\).

Ví dụ: Tính: \(\dfrac{4}{-5}-\dfrac{-7}{6}\).

Giải

Bước 1. Quy đồng mẫu hai phân số

Cụ thể là:

\(\dfrac{4}{-5}=\dfrac{-4}{5}\); BCNN\(\left(5,6\right)=30\);

\(30:5=6\); \(30:6=5\)'

\(\dfrac{4}{-5}=\dfrac{\left(-4\right).6}{5.6}=\dfrac{-24}{30}\) và \(\dfrac{-7}{6}=\dfrac{\left(-7\right).5}{6.5}=\dfrac{-35}{30}\).

Bước 2. Trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung

Ta có: \(\dfrac{-24}{30}-\dfrac{-35}{30}=\dfrac{\left(-24\right)-\left(-35\right)}{30}=\dfrac{11}{30}\).

Vậy \(\dfrac{4}{-5}-\dfrac{-7}{6}=\dfrac{11}{30}\).

Nhận xét: Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ: Tính: 

a) \(\dfrac{1}{7}-\dfrac{5}{-7}\);

b) \(\dfrac{-7}{8}-\dfrac{-5}{6}\).

Giải

a) \(\dfrac{1}{7}-\dfrac{5}{-7}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{-5}{7}=\dfrac{1-\left(-5\right)}{7}=\dfrac{6}{7}\).

b) \(\dfrac{-7}{8}-\dfrac{-5}{6}=\dfrac{\left(-7\right).3}{8.3}+\dfrac{\left(-5\right).4}{6.4}=\dfrac{-21}{24}-\dfrac{-20}{24}=\dfrac{\left(-21\right)-\left(-20\right)}{24}=\dfrac{-1}{24}\).

III. QUY TẮC DẤU NGOẶC

Quy tắc dấu ngoặc đối với phân số giống như quy tắc dấu ngoặc đối với số nguyên.

Ví dụ: Tính một cách hợp lí: 

a) \(\dfrac{14}{13}+\left(\dfrac{-1}{13}-\dfrac{19}{20}\right)\);

b) \(\dfrac{-24}{17}-\left(\dfrac{-7}{17}-\dfrac{1}{16}\right)\).

Giải

a) \(\dfrac{14}{13}+\left(\dfrac{-1}{13}-\dfrac{19}{20}\right)=\dfrac{14}{13}+\dfrac{-1}{13}-\dfrac{19}{20}=\left(\dfrac{14}{13}+\dfrac{-1}{13}\right)-\dfrac{19}{20}=1-\dfrac{19}{20}=\dfrac{1}{20}\).

b) \(\dfrac{-24}{17}-\left(\dfrac{-7}{17}-\dfrac{1}{16}\right)=\dfrac{-24}{17}-\dfrac{-7}{17}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{\left(-24\right)-\left(-7\right)}{17}+\dfrac{1}{16}=\left(-1\right)+\dfrac{1}{16}=\dfrac{-15}{16}\).