Phần tự luận (7 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

1.

$A=\sqrt{2^2.7}+\sqrt{3^2.7}-5\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}$

$=2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-5\left| \sqrt{7}-1 \right|$

$=2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-5(\sqrt{7}-1 )$

$=5$.

2. a) Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được $A=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{25}+2}=\dfrac{5}{7}$

b) Ta có:

$B=\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}$

$B=\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$

$B=\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-4}$

$B=\dfrac{x+\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2}{x-4}$

$B=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-4}$

$B=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2 )}{(\sqrt{x}-2 )(\sqrt{x}+2 )}$

$B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ (đpcm)

c) Ta có $P=A:B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}$.

Để $\sqrt{P}<\dfrac{1}{2}\Rightarrow 0\le P<\dfrac{1}{4}$

+ Với $P\ge 0\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}-2\ge 0\Rightarrow x>4$ (vì $\sqrt{x}+2>0$ với mọi $x\ge 0,  x\ne 4$)  $(1 )$

+ Với $P<\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{4}<0$

$\Rightarrow \dfrac{3\sqrt{x}-10}{4(\sqrt{x}+2 )}<0$

$\Rightarrow 3\sqrt{x}-10<0\Rightarrow \sqrt{x}<\dfrac{10}{3}\Rightarrow 0\le x<\dfrac{100}{9}$

( vì $4(\sqrt{x}+2 )>0$)  $(2)$

Từ $(1 ), (2) \Rightarrow 4<x<\dfrac{100}{9}$. Mà $x$ nhận giá trị nguyên nhỏ nhất nên $x=5$.

Hướng dẫn giải:

Gọi số tiền theo giá niêm yết của một chiếc bàn là là: $x$ (nghìn đồng) ($0<x<850$)

Thì số tiền theo giá niêm yết của một chiếc quạt điện $850-x$ (nghìn đồng)

Số tiền được giảm của một chiếc bàn là là: $10\%x=\dfrac{1}{10}x$ (nghìn đồng)

Số tiền được giảm của một chiếc quạt điện là:  $20\%(850-x )=\dfrac{1}{5}(850-x)$ (nghìn đồng)

Theo bài ra ta có phương trình:

$\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{5}(850-x)=125$

Giải phương trình:

$x+1\, 700-2x=1\, 250$

$x=450$ (thỏa mãn).

Vậy số tiền phải trả thực tế của bàn là là $450$ nghìn đồng và của chiếc quạt điện là $850 - 450 = 400$ nghìn đồng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\widehat{xBC}=\widehat{ACB}=20{}^\circ $, $\widehat{xBD}=\widehat{ADB}=30^\circ $

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AC=\dfrac{AB}{\tan \widehat{ACB}}=\dfrac{100}{\tan 20{}^\circ }$ (m)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, có $AD=\dfrac{AB}{\tan D}=\dfrac{100}{\tan 30^\circ }$ (m)

Ta có $CD=AC-AD=\dfrac{100}{\tan 20^\circ }-\dfrac{100}{\tan 30^\circ }\approx 102$(m)

Vậy con tàu đã đi được xấp xỉ $102$ m giữa hai lần quan sát.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\Delta OBD$ cân tại $O$ (vì $OB=OD=R$) có $OI$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Suy ra $OI\bot BD$(1)

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ (vì $OB=OA$) có $OH$ là tia phân giác góc tại $O$ (tính chất của tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $OH$ đồng thời là đường cao.

Suy ra $OM\bot AB$(2)

Xét tam giác $ABD$ có $OA=OB=OD$ nên $\Delta ABD$ vuông tại $B$

Suy ra $AB\bot BD$(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra, $OHBI$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta OBK$ và $\Delta ODK$ có:

$OB=OD\left( =R \right)$

$OK$ : cạnh chung

$\widehat{BOK}=\widehat{DOK}$ ($OI$ là tia phân giác góc $BOD$)

Do đó $\Delta OBK=\Delta ODK$ (c-g-c)

Suy ra $\widehat{ODK}=\widehat{OBK}=90^\circ $ (hai góc tương ứng)

Vậy $KD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
c) Xét  $\Delta OMB$ vuông tại $B$ ($MB$ là tiếp tuyến của $(O)$), có:

$\sin \widehat{OMB}=\dfrac{OB}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}$

Suy  ra $\widehat{OMB}=30^\circ $

Vì $OHBI$ là hình chữ nhật nên $\widehat{HOI}=90^\circ $

Xét $\Delta OMK$ có $\widehat{MOK}+\widehat{OKM}+\widehat{KMO}=180^\circ $ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{OKM}=180^\circ -90^\circ -30^\circ =60^\circ $

Xét $\Delta OBK$ vuông tại $B$ ($MB$ là tiếp tuyến của $(O)$) có: $\tan \widehat{OKB}=\dfrac{OB}{BK}$

Suy ra $BK=\dfrac{OB}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$

Ta có $BK=DK$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Nên $DK=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$

Xét $\Delta AKD$ vuông tại $D$, có

$AK^2=AD^2+DK^2$

$AK=\sqrt{4R^2+\dfrac{R^2}{3}}=\dfrac{R\sqrt{39}}{3}$

Chu vi tam giác $\Delta AKD$ là $AK+AD+KD=\dfrac{R\sqrt{39}}{3}+R+\dfrac{R\sqrt{3}}{3}=\dfrac{R}{3}\left( 3+\sqrt{39}+\sqrt{3} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Gọi hòn đảo lớn là đường tròn ($O; 500$ m) và hòn đảo nhỏ là đường tròn ($O' ; 300$ m). Lấy $A$ thuộc đường tròn $(O)$ và $B$ thuộc đường tròn tâm $(O')$ là hai vị trí đầu cầu. Khi đó, $AB$ là chiều dài cây cầu và $OO' =950$ m, $OA=500$ m, $O'B=300$ m.

Xét ba điểm $O' ,A,B$, ta có $AB\ge O' A-O' B$.

Xét ba điểm $O,\,O' ,\,A$, ta có $O' A\ge OO' -OA$.

Do đó $AB\ge OO' -OA-O' B$ hay $AB\ge 150$ m.

Dấu $''=''$ xảy ra khi bốn điểm $O,\,A,\,B,\,O' $ thẳng hàng theo thứ tự đó.

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu có chiều dài ngắn nhất là $150$ m.