Phần tự luận (7 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a. Hàm số $y=f\left(x \right)=\dfrac{2}{\left| x \right|-2}$ xác định khi: $\left| x \right|-2\ne 0$

Suy ra $\left| x \right|\ne 2$ hay $\left\{ \begin{aligned} & x\ne 2 \\ & x\ne -2 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy hàm số có nghĩa khi: $x\ne 2$ và $x\ne -2$

b. Hàm số $y=f\left(x \right)=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x+3}$ xác định khi: $\left\{ \begin{aligned} & 2-x\ne 0 \\ & x+3\ne 0 \\ \end{aligned} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{aligned} & x\ne 2 \\ & x\ne -3 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy hàm số có nghĩa khi: $x\ne 2$ và $x\ne -3$.

Hướng dẫn giải:

a. Vẽ đúng đồ thị hai hàm số

b. Vì $Q$ là giao điểm của $(d)$ và $(d')$

Phương trình hoành độ $2x - 4 = - x + 4$

$3x = 8 $

$ x = \dfrac{8}{3}$

Suy ra: $y =- x + 4 = - \dfrac{8}{3}+ 4 = \dfrac{4}{3}$

Vậy $Q\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}MN. QH = \dfrac{1}{2}.8.\dfrac{8}{3}= \dfrac{32}{3}$.

Hướng dẫn giải:

a. Theo tính chất đường phân giác trong của góc $A$ và góc $C$ ta có $\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{a}{b}$; $\left(1 \right)$

$\dfrac{BN}{AN}=\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{a}{b}$ $\left(2 \right)$

Từ $\left(1 \right)$ và $\left(2 \right)$ ta có: $\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{BN}{AN}$.

Theo định lí Thalès đảo ta được $MN$ // $AC$.

b. Tính $MN$ theo $a$, $b$.

Theo $(2)$ có $\dfrac{BN}{AN}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{a+b}{b}$

$ \dfrac{AN}{AB}=\dfrac{b}{a+b}\Rightarrow \dfrac{BN}{AB}=\dfrac{a}{a+b}.$

Do $MN$ // $AC$ nên $\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{MN}{AC}$

$MN=\dfrac{BN}{BA}. AC=\dfrac{a}{a+b}. b=\dfrac{ab}{a+b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $B={{\left[ z-\dfrac{3}{2}\left(x+y \right) \right]}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{\left(x+\dfrac{y}{3}-\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{2}{3}{{\left(y-2 \right)}^{2}}+1\ge 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là: $1$ tại $\left\{ \begin{aligned} & y-2=0 \\ & x+\dfrac{y}{3}-\dfrac{4}{3}=0 \\ & z-\dfrac{3}{2}\left(x+y \right)=0 \\ \end{aligned} \right.$ hay $x=-\dfrac{2}{3}; \, y=2; \, z=4$.