Phần tự luận (4 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a. $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}+2x-3}{{{x}^{2}}-x}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(x-1)\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{x(x-1)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{x}=5$.

b. $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{3x+1}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1-x}{(x-1)(\sqrt{2x+2}+\sqrt{3x+1})}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-1}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{3x+1}}=-\dfrac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

a. Hàm số xác định tại $x=0$

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\dfrac{1}{2}$.

$f\left( 0 \right)={{0}^{2}}-2.0=0$.

Vậy $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( 0 \right)$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$.

b. Xét hàm số $f(x)={{(x+1)}^{3}}(x-2)+2x-1\Rightarrow f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta thấy $f(-1)=-3;f(2)=3\Rightarrow f(-1).f(2)<0$.

Nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( -1,2 \right)$.

Hướng dẫn giải:

a.

Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & \left( SAB \right)\perp \left( ABCD \right) \\ & \left( SAD \right)\perp \left( ABCD \right) \\ & SA=\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow SA\perp \left( ABCD \right)$.

Ta lại có: $BC\perp AB$ (do $ABCD$ là hình vuông) $\left( 1 \right).$

$BC\perp SA$ (do $SA\perp \left( ABCD \right)$) $\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $BC\perp \left( SAB \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & BD\perp AC \\ & BD\perp SA\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \text{do}\,\,SA\perp \left( ABCD \right) \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BD\perp \left( SAC \right)\Rightarrow \left( SBD \right)\perp \left( SAC \right)$.

b. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$.

Tứ giác $AKCN$ là hình bình hành suy ra $AN\,\text{//}\,CK\Rightarrow AN\,\text{//}\,\left( SCK \right)\Rightarrow d\left( AN;SC \right)=d\left( AN;\left( SCK \right) \right)=d\left( A;\left( SCK \right) \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ kẻ $AQ\perp KC$ tại $Q$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & CK\perp AQ \\ & CK\perp SA\,\,\,\,\,\,\,\left( \text{do }SA\perp \left( ABCD \right) \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CK\perp \left( SAQ \right)\Rightarrow \left( SCK \right)\perp \left( SAQ \right)$.

Lại có $\left( SCK \right)\cap \left( SAQ \right)=SQ$, trong mặt phẳng $\left( SAQ \right)$ kẻ $AH\perp SQ$ tại $H$.

Suy ra $AH\perp \left( SCK \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCK \right) \right)=AH$.

$\Delta AQK\sim \Delta CBK$ $\Leftrightarrow \dfrac{AQ}{BC}=\dfrac{AK}{KC}\Leftrightarrow \dfrac{AQ}{a}=\dfrac{\frac{a}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}\Leftrightarrow AQ=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

$\Delta SAQ$ vuông tại $A$ $\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AQ}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{Q}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{5{{a}^{2}}}{25}}}=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.

Vậy $d\left( AN;SC \right)=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.