Mệnh đề toán học SVIP

I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng vừa sai.

 Chú ý. Ta có thể gọi tắt mệnh đề toán học là mệnh đề.

Ví dụ 1.

$P$: "$3$ là số nguyên tố" là một mệnh đề toán học.

$Q$: "Tháng 2 dương lịch có 30 ngày" không là một mệnh đề toán học.

$R$: "Đây là cách xử lí khôn ngoan!" không phải mệnh đề.

II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Một câu chưa khẳng định được tính đúng, sai nhưng khi thay một giá trị cụ thể thì câu đó cho ta được một mệnh đề, những câu như vậy được gọi là một mệnh đề chứa biến.

Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến $n$ là $P(n)$; mệnh đề chứa biến $x,\,y$ là $P(x,\,y)$;...

Ví dụ 2. "$n$ là số chẵn" ( với $n$ là số tự nhiên) là một mệnh đề chứa biến.

+ Với $n=1$ ta được mệnh đề "$1$ là số chẵn". Đây là mệnh đề sai.

+ Với $n=2$ ta được mệnh đề "$2$ là số chẵn". Đây là mệnh đề đúng.

III. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

Cho mệnh đề $P$. Mệnh đề "Không phải $P$" được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ và kí hiệu là $\overline{P}$.

 Chú ý. Để phủ định một mệnh đề $P$, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề $P$. 

Ví dụ 3. Cho mệnh đề $Q$: "$4$ là số nguyên tố" thì mệnh đề phủ định của mệnh đề $Q$ là $\overline{Q}$: "$4$ không phải là số nguyên tố". Mệnh đề $Q$ sai, mệnh đề $\overline{Q}$ đúng.

IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Nhận xét. Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là "$P$ kéo theo $Q$" hay "$P$ suy ra $Q$" hay "Vì $P$ nên $Q$" ...

Nhận xét. Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$.

Khi đó ta nói

     $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí, hay

     $P$ là điều kiện đủ để có $Q$, hoặc $Q$ là điều kiện cần để có $P$.

V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

❏ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $Q \Rightarrow P$.

❏ Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$.

Nhận xét. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ có thể được phát biểu ở dạng như sau:

+ "$P$ tương đương $Q$".

+"$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$".

+ "$P$ khi và chỉ khi $Q$".

+ "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$".

Ví dụ 4. Với mỗi thực $x$ xét các mệnh đề $P$: "$x^2 = 1$" và $Q$: "$x=1$".

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

b) Xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$.

Giải

a) $P \Rightarrow Q$ "Nếu $x^2 = 1$ thì $x = 1$".

Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu $x = 1$ thì $x^2 = 1$."

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai, mệnh đề $Q \Rightarrow P$ đúng.

Ví dụ 5. Mệnh đề "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nếu và chỉ nếu $AB^2 + AC^2 = BC^2$" là một mệnh đề tương đương và là một mệnh đề đúng.

 Chú ý. Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng "$P \Leftrightarrow Q$" cũng được coi là một mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.

VI. KÍ HIỆU $\forall $ VÀ $\exists $ 

Kí hiệu $\forall $ đọc là "với mọi".

Kí hiệu $\exists $ đọc là "tồn tại".

Ví dụ 6.

Mệnh đề $P$: "Mọi số thực đều có bình phương khác $1$" được viết là $P$: "$\forall x\in \mathbb{R},\, x^2\ne 1$".

Mệnh đề $Q$: "Có một số thực có bình phương khác $1$" được viết là $Q$: "$\exists x\in \mathbb{R},\, x^2\ne 1$".

Cho mệnh đề ''$P(x),\, x \in X$''.

❏ Phủ định của mệnh đề ''$\forall x \in X,\,P(x)$'' là mệnh đề ''$\exists x \in X,\, \overline{P(x)}$".

❏ Phủ định của mệnh đề "$\exists x \in X,\,P(x)$" là mệnh đề "$\forall x \in X,\, \overline{P(x)}$".

Ví dụ 7. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R},\,|x| \ge x$" là mệnh đề "$\exists x \in \mathbb{R},\, |x| < x$".