Mệnh đề SVIP

1. MỆNH ĐỀ, MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

a. Mệnh đề

Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu nói, khẳng định có tính đúng hoặc sai. Những câu không xác định được tính đúng, sai không phải là mệnh đề.

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý. Sử dụng các chữ cái $P,\, Q,\, R,…$ để biểu thị các mệnh đề.

Ví dụ 1.

$P$: "$3$ là số nguyên tố" là một mệnh đề đúng.

$Q$: "Tháng 2 dương lịch có 30 ngày" là một mệnh đề sai.

$R$: "Đây là cách xử lí khôn ngoan!" không phải mệnh đề.

Thông thường, những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu điều khiển không phải mệnh đề.

Chú ý. Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

b. Mệnh đề chứa biến

Một câu chưa khẳng định được tính đúng, sai nhưng khi thay một giá trị cụ thể thì câu đó cho ta được một mệnh đề, những câu như vậy được gọi là một mệnh đề chứa biến.

Ví dụ 2. "$n$ là số chẵn" ( với $n$ là số tự nhiên) là một mệnh đề chứa biến.

+ Với $n=1$ ta được mệnh đề "$1$ là số chẵn". Đây là mệnh đề sai.

+ Với $n=2$ ta được mệnh đề "$2$ là số chẵn". Đây là mệnh đề đúng.

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Để phủ định một mệnh đề $P$, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề $P$. Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline{P}$.

Mệnh đề $P$ và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

Ví dụ 3. Cho mệnh đề $Q$: "$4$ là số nguyên tố" thì mệnh đề phủ định của mệnh đề $Q$ là $\overline{Q}$: "$4$ không phải là số nguyên tố". Mệnh đề $Q$ sai, mệnh đề $\overline{Q}$ đúng.

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO

a. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng $P \Rightarrow Q$, khi đó ta nói:

$P$ là giả thiết của định lí, $Q$ là kết luận của định lí, hoặc "$P$ là điều kiện đủ để có $Q$" và "$Q$ là điều kiện cần để có $P$".

b. Mệnh đề đảo

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $Q \Rightarrow P$.

Ví dụ 4. Với mỗi thực $x$ xét các mệnh đề $P$: "$x^2 = 1$" và $Q$: "$x=1$".

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$  và mệnh đề đảo của nó.

b) Xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$.

Giải

a) $P \Rightarrow Q$ "Nếu $x^2 = 1$ thì $x = 1$".

Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu $x = 1$ thì $x^2 = 1$."

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai, mệnh đề $Q \Rightarrow P$ đúng.

4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Mệnh đề "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$" được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

Nhận xét. Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đề đúng thì mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ đúng. Khi đó ta nói "$P$ tương đương với $Q$" hoặc "$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$" hoặc "$P$ khi và chỉ khi $Q$”.

Ví dụ 5. Mệnh đề "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nếu và chỉ nếu $AB^2 + AC^2 = BC^2$" là một mệnh đề tương đương và là một mệnh đề đúng.

5. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÍ HIỆU $\forall $ ; $\exists $ 

Kí hiệu $\forall $ đọc là "với mọi".

Kí hiệu $\exists $ đọc là "tồn tại".

Ví dụ 6.

Mệnh đề $P$: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1" được viết là $P$: "$\forall x\in \mathbb{R},\, x^2\ne 1$".

Mệnh đề $Q$: "Có một số thực có bình phương khác 1" được viết là $Q$: "$\exists x\in \mathbb{R},\, x^2\ne 1$".