Luyện tập SVIP

Các xác định ảnh của điểm $M(x_0;y_0)$ trên mặt phẳng toạ độ qua phép quay tâm $O$, góc $\alpha$ bất kì.

Gọi $M'(x';y')$ là ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc $\alpha$.

$R=OM = \sqrt{x_0 ^2 + y_0 ^2}.$

Gọi $\varphi$ là góc lượng giác thoả mãn $\left\{{}\begin{matrix}x_0=R\cos\varphi\\y_0=R\sin\varphi\end{matrix}\right.\left(1\right)$.

Quan sát hình vẽ ta thấy:

$\left\{{}\begin{matrix}x'=R\cos\left(\varphi+\alpha\right)=R\left(\cos\varphi\cos\alpha-\sin\varphi\sin\alpha\right)\overset{\left(1\right)}{=}x_0.\cos\alpha-y_0.\sin\alpha\\y'=R\sin\left(\varphi+\alpha\right)=R\left(\sin\varphi\cos\alpha+\cos\varphi\sin\alpha\right)\overset{\left(1\right)}{=}y_0.\cos\alpha+x_0.\sin\alpha\end{matrix}\right.$.

Vậy ảnh của $M(x_0;y_0)$ qua phép quay tâm $O$ góc $\alpha$ là $\boxed{M'(x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha; y_0 \cos \alpha + x_0 \sin \alpha)}$.