Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm SVIP

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

+ Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

+ Cường độ tức thời

Nhận xét

Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng $\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0},$ ở đó $y=f(x)$ là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a ; b)$ và điểm $x_0 \in(a ; b)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$, kí hiệu bởi $f'\left(x_0\right)$ (hoặc $\left.y'\left(x_0\right)\right)$, tức là $f'\left(x_0\right)=\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$

Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0 \in(a ; b)$, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính $f(x)-f\left(x_0\right)$.

2. Lập và rút gọn tỉ số $\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ với $x \in(a ; b), \, x \neq x_0$.

3. Tìm giới hạn $\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Vi dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^2+2 x$ tại điểm $x_0=1$.

Lời giải

$f'(1) =\underset{x \rightarrow 1}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x \rightarrow 1}{\mathop{\lim}}\dfrac{\left(x^2+2 x\right)-3}{x-1} =\underset{x \rightarrow 1}{\mathop{\lim}}\dfrac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x \rightarrow 1}{\mathop{\lim}}(x+3)=4$.

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hàm số $y=f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $(a ; b)$ nếu nó có đạo hàm $f'(x)$ tại mọi điểm $x$ thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y'=f'(x)$.

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số $y=c x^2$, với $c$ là hằng số.

Lời giải

Với $x_0$ bất kì, ta có: $f'\left(x_0\right) =\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{c x^2-c x_0^2}{x-x_0}=\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{c\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0} =\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}} c\left(x+x_0\right)=c\left(x_0+x_0\right)=2 c x_0$.

Vậy hàm số $y=c x^2$ (với $c$ là hằng số) có đạo hàm là hàm số $y'=2 c x$.

Chú ý

Nếu phương trình chuyển động của vật là $s=f(t)$ thì $v(t)=f'(t)$ là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$.

Ví dụ 3. Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toà nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao $461,3$ m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Lời giải

Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là $s=f(t)=\dfrac{1}{2} g t^2$ ( $g$ là gia tốc rơi tự do, lấy $g=9,8$ m/s$^2$).

Do vậy, vận tốc của quả bóng tại thời điểm $t$ là $v(t)=f'(t)=g t=9,8 t$.

Mặt khác, vì chiều cao của toà tháp là $461,3$ m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm $t_1$, với $f\left(t_1\right)=461,3$.

Từ đó, ta có: $4,9 t_1^2=461,3 \Leftrightarrow t_1=\sqrt{\dfrac{461,3}{4,9}}$ (giây).

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là $ v\left(t_1\right)=9,8 t_1=9,8 . \sqrt{\dfrac{461,3}{4,9}} \approx 95,1$ (m/s)

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $P\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ là đường thẳng đi qua $p$ với hệ số góc $k=\underset{x \rightarrow x_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là $k=f'\left(x_0\right)$. Điểm $P$ gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $P\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ là đạo hàm $f'\left(x_0\right)$.

Ví dụ 4. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$.

Lời giải

Ta có $\left(x^2\right)'=2 x$ nên $y'(-1)=2 . (-1)=-2$.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$ là $k=-2$.

b) Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left(x_0 ; y_0\right)$ là $y-y_0=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$, trong đó $y_0=f\left(x_0\right)$.

Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y=3 x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$.

Lời giải

Ta có $y'=6 x$.

Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là $k=f'(1)=6$.

Ngoài ra, ta có $f(1)=3$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y-3=6(x-1)$ hay $y=6 x-3$.