Định nghĩa, tính chất cơ bản của tích phân SVIP

Xét $f(x)$ là một hàm số liên tục trên đoạn $\left[ a,b \right]$, (với $a<b$) và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[ a,b \right]$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết hàm số $F\left(x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x \right)$ trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ và $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=m$, khi đó đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ thỏa mãn $f\left(-1 \right)=3$, $f\left(2 \right)=-1$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{{f}'\left(x \right)\mathrm{d}x}$ bằng

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ -2;3 \right]$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{-2}^{3}{{f}'\left(x \right)\mathrm{d}x}=8$ và $f\left(3 \right)=12$. Khi đó, $f\left(-2 \right)$ bằng

Giả sử $F\left(x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. Biết $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=1$ và $F\left(0 \right)=2$, giá trị của $F\left(1 \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0 ; 1]$, thỏa mãn $2 f(x)+3 f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ bằng

Cho hai hàm số $f\left(x \right)$, $g\left(x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ và số thực $k$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Nếu $\displaystyle \int\limits_{-1}^{2}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=3$ thì $\displaystyle \int\limits_{-1}^{2}{(-2)f(x)\mathrm{d}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $\displaystyle \int\limits_{0}^{3}{f}\left(x \right)\mathrm{d}x=6$ và $\displaystyle \int\limits_{3}^{10}{f}\left(x \right)\mathrm{d}x=3$. Giá trị của $\displaystyle \int\limits_{0}^{10}{f}\left(x \right)\mathrm{d}x$ bằng bao nhiêu?

Cho $\displaystyle \int\limits_{0}^{4}{f(x)\mathrm{d}x}=4$ và $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{f(x)\mathrm{d}x}=3$. Tích phân $I=\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}+\displaystyle \int\limits_{2}^{4}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Nếu $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=6$ và $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{g\left(x \right)\mathrm{d}x}=-2$ thì $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\left[ f\left(x \right)-3g\left(x \right) \right]}\mathrm{d}x$ bằng

Nếu $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{\left(2x-3f\left(x \right) \right)\mathrm{d}x=3}$ thì $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{f\left(x \right)}\mathrm{d}x$ bằng

Biết $\displaystyle \int\limits_{2\,023}^{2\,024}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=\dfrac{4\,045}{2}$. Giá trị của $\displaystyle \int\limits_{2\,023}^{2\,024}{2f\left(x \right)\mathrm{d}x}$ bằng

Cho $\displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=-1$, $\displaystyle \int\limits_{-2}^{2\,024}{f\left(t \right)\mathrm{d}t}=-4$. Tích phân $\displaystyle \int\limits_{2}^{2\,024}{f\left(y \right)\mathrm{d}y}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho $a,\, b$ là các số thực.