Đề thi tuyển sinh lớp 10 Sở GD&ĐT Hải Phòng năm 2020-2021 SVIP

Hướng dẫn giải:

a.

$A = 3\sqrt7 -\sqrt{28} +\sqrt{175} -3 = 3\sqrt7 - 2\sqrt 7 +5\sqrt 7 - 3 = 6\sqrt7 - 3.$

Với $x>0$ ta có:

$B = \dfrac{x-\sqrt x}{\sqrt x} + \dfrac{x +\sqrt x}{\sqrt x+1} = \dfrac{\sqrt x(\sqrt x-1)}{\sqrt x} + \dfrac{\sqrt x(\sqrt x+1)}{\sqrt x+1} = \sqrt x - 1 +\sqrt x = 2\sqrt x -1.$

b.

Đề giá trị của $x$ để giá trị biểu thức $A$ bằng ba lần giá trị biểu thức $B$ thì

$6\sqrt 7 - 3 = 3(2\sqrt x -1) \Leftrightarrow 6\sqrt 7 - 3 = 6\sqrt x - 3 \Leftrightarrow \sqrt x = \sqrt 7 \Leftrightarrow x = 7 \ \text{(thỏa mãn)}$.

Vậy với $x = 7$ thì giá trị biểu thức $A$ bằng ba lần giá trị biểu thức $B$.

Hướng dẫn giải:

a.

Ta có đường thẳng $d:$ $y = ax + b$ song song với đường thẳng $y = -\dfrac12x + 2020$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned} & a =-\dfrac12\\ & b \ne 2020\\ \end{aligned}\right.$ nên $d$ có dạng: $y = -\dfrac12x + b$.

Mà $d$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-5$ nên nó đi qua điểm có tọa độ $(-5;0)$.

Khi đó $0 = -\dfrac12.(-5)+ b$ $\Leftrightarrow b =-\dfrac52$ (thỏa mãn $b \ne 2020$).

Vậy $a =-\dfrac12$ và $b = -\dfrac52$.

b.

$\left\{ \begin{aligned} & 3(x-1) + 2(x-2y) = 10\\ & 4(x-2) - (x-2y) = 2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 5x - 4y = 13\\ & 3x+2y = 10\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 5x - 4y = 13\\ & 6x + 4y = 20\\ \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 5x - 4y = 13\\ & 11x = 33\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x = 3\\ & y =\dfrac12\\ \end{aligned}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = \left(3;\dfrac12 \right) .$

Hướng dẫn giải:

3.1.a

Với $m=7$ ta có phương trình $x^2 - 16x + 48 = 0$.

$\Delta ' = (-8)^2-1.48 = 16$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_1 = 12$; $x_2 = 4$.

3.1.b

$x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 1 = 0$ (1) ($m$ là tham số).

$\Delta ' = \left[-(m+1)\right]^2 - (m^2-1) = m^2 + 2m+1 - m^2 + 1 = 2m +2 $.

Phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ khi và chỉ khi $\Delta ' \ge 0$.

Hay $2m+2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -1$.

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2 = 2m+2\\ & x_1x_2 = m^2-1\\ \end{aligned}\right.$

Ta có $M = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1+x_2)^2-3x_1x_2 = (2m+2)^2 - 3(m^2-1) = m^2+8m+7 = (m+4)^2 -9$.

Ta có $m \ge -1$ nên $m+4 \ge 3$.

Suy ra $(m+4)^2 - 9 \ge 3^2 - 9 = 0$ hay $M \ge 0$.

Giá trị nhỏ nhất của $M = 0$ đạt được khi $m = -1.$

3.2

Gọi số thùng nước sát khuẩn mà nhà máy phải sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ (thùng). Điều kiện: $x \in \mathbb{N}^*$.

Thời gian nhà máy phải sản xuất theo kế hoạch là: $\dfrac{2100}x$ (ngày).

Trên thực tế, mỗi ngày nhà máy sản xuất được $x + 35$ (thùng).

Thời gian nhà máy sản xuất trên thực tế là: $\dfrac{2100}{x+35}$ (ngày).

Vì nhà máy hoàn thành công việc trước thời hạn quy định 3 ngày nên ta có phương trình: $\dfrac{2100}x - \dfrac{2100}{x + 35} = 3.$ (1)

$\Leftrightarrow \dfrac{700}x - \dfrac{700}{x+35} = 1$

$\Rightarrow 700x + 24500 - 700x = x(x+35) \Leftrightarrow x^2 + 35x - 24500 = 0$.

$\Delta = 35^2 + 4.24500 = 99225$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 315$ nên phương trình có nghiệm $x = 140$ (thỏa mãn); $x = -175$ (loại).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày nhà máy phải sản xuất $140$ thùng nước sát khuẩn.

Hướng dẫn giải:

4.1.a.

Vì $AB$ và $AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ với $B$ và $C$ là các tiếp điểm nên: $OB \perp AB,$ $OC \perp AC$ hay $\widehat{ABO} = \widehat{ACO} = 90^{\circ}.$

Xét tứ giác $ABOC$, ta có: $\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 180^{\circ}$. Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

Xét đường tròn $(O)$ , ta có: $\widehat{ABF} = \widehat{AKB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BF$).

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AKB$, ta có: $\widehat{BAK}$ chung; $\widehat{ABF} = \widehat{AKB}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \Delta ABF \sim \Delta AKB$ (g.g).

b.

Vì $\Delta ABF \sim \Delta AKB$ nên $\dfrac{AB}{AK} = \dfrac{BF}{BK}$ (1)

Chứng minh tương tự phần a ta được $\Delta ACF \sim \Delta AKC$ nên $\dfrac{AC}{AK} = \dfrac{CF}{CK}$ (2)

Lại có $AB = AC$ (vì $AB,$ $AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được $\dfrac{BF}{BK} = \dfrac{CF}{CK} \Rightarrow BF.CK = CF. BK$.

c. Xét đường tròn $( O )$ , ta có: $\widehat{FCE} = \widehat{CBF}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $CF$) hay $\widehat{FCE} = \widehat{CBE}$.

Xét $\Delta FCE$ và $\Delta CBE$ ta có:

$\widehat{BEC}$ chung;

$\widehat{FCE} = \widehat{CBE}$ (cmt).

$\Rightarrow \Delta FCE \sim \Delta CBE$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{FE}{CE} = \dfrac{CE}{BE}$, do đó $\dfrac{FE}{AE} = \dfrac{AE}{BE}$ (vì $AE = CE$).

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta FAE$ ta có:

$\widehat{AEB}$ chung;

$\dfrac{FE}{AE} = \dfrac{AE}{BE}$ (cmt).

$\Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta FAE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ABE} = \widehat{FAE}$ hay $\widehat{ABF} = \widehat{FAE}$.

Do đó $EA$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABF$.

4.2.

Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq} = \pi rl \Rightarrow l =\dfrac{S_{xq}}{\pi r} = \dfrac{65 \pi}{5 \pi} = 13$ cm.

Suy ra chiều cao của hình nón là $h =\sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ cm.

Hướng dẫn giải:

a.

$x^2 - xy + y^2 \ge \dfrac13(x^2+xy+y^2)$

$\Leftrightarrow 3(x^2-xy+y^2) \ge (x^2 + xy+y^2)$

$\Leftrightarrow 2(x^2-2xy+y^2) \ge 0 \Leftrightarrow 2(x-y)^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi $x$, $y$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y$.

b.

Đặt $a = \sqrt x;$ $b = \sqrt y;$ $c = \sqrt z;$ với $a>0, b>0, c>0$. Khi đó $a+b+c = 2.$

Đặt $A = \dfrac{x\sqrt x}{x +\sqrt{xy} + y} + \dfrac{y\sqrt y}{y +\sqrt{yz} + z} + \dfrac{z\sqrt z}{z +\sqrt{zx} + x} $

$= \dfrac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + ca + a^2}.$

Đặt $B = \dfrac{b^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{c^3}{b^2 + bc + c^2} + \dfrac{a^3}{c^2 + ca + a^2}.$

$\Rightarrow A- B = \dfrac{a^3-b^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{b^3-c^3}{b^2 + bc + c^2} + \dfrac{c^3-a^3}{c^2 + ca + a^2}$\\ $= (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 \Rightarrow A = B$.

Nên $2A = A+B =\dfrac{a^3+b^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{b^3+c^3}{b^2 + bc + c^2} + \dfrac{c^3+a^3}{c^2 + ca + a^2}$

$\Leftrightarrow 2A = \dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{(b+c)(b^2-bc+c^2)}{b^2 + bc + c^2} + \dfrac{(c+a)(c^2-ca+a^2)}{c^2 + ca + a^2}$.

Từ câu a ta thấy với $x>0, y>0$ thì $\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} \ge \dfrac13$ nên

$2A \ge \dfrac{a+b}3 + \dfrac{b+c}3+ \dfrac{c+a}3 =\dfrac{2(a+b+c)}3 \Leftrightarrow A \ge \dfrac{a+b+c}3$.

Mà $a+b+c = 2$ nên $A \ge \dfrac23$ với mọi $a>0, b>0, c>0$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c =\dfrac23$ hay $x=y=z =\dfrac49.$