Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ đều cạnh $2a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Khi quay tam giác $ABC$ xung quanh trục $AM$ thì đường gấp khúc $ABC$ tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là

Thể tích của khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và chiều cao $4a$ bằng

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)={{e}^{2x+3}}$ là

Tập xác định của hàm số $y={{\left( x+2 \right)}^{\frac{3}{4}}}$ là

Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\vec{n}=\left( 1;-1;-3 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào dưới đây?

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình vẽ trên?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;0 \right)$ và $\overrightarrow{v}=\left( 2;0;-1 \right)$. Độ dài $\left| \overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v} \right|$ bằng

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B=5$ và chiều cao $h=6$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}x<2$ là

Nếu $\displaystyle \int_{0}^{1}{f}(x)\mathrm{d}x=3$ và $\displaystyle \int_{0}^{3}{f}(x)\mathrm{d}x=-2$ thì $\displaystyle \int_{1}^{3}{f}(x)\mathrm{d}x$ bằng

Với $n$ là số nguyên dương bất kỳ, $n\ge 3$, công thức nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-4=0$ và đi qua điểm $M(1;1;0)~$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$?

Nếu $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)+2x \right]\mathrm{d}x=2}$ thì $\displaystyle \int_{0}^{1}{f}(x)\mathrm{d}x$ bằng

Đường thẳng $x=2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào dưới đây?

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ $25$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

Trên đoạn $\left[ 0;2 \right],$ hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào dưới đây?

Với mọi số thực $a$ dương, ${{\log }_{2}}\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( ACC'A' \right)$ bằng

Cho ${{\log }_{2}}3=a$. Biểu thức $P={{\log }_{8}}6$ tính theo $a$ là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sin x-6{{x}^{2}}$ là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1-3i \right)z+1+7i=0.$ Tổng phần thực và phần ảo của $z$ bằng

Tính tích phân $I=\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{2x\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $u={{x}^{2}}-1$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hai số phức ${{z}_{1}}=2-3i$, ${{z}_{2}}=4+i$. Số phức $z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}$ bằng

Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-2$ cắt trục tung tại điểm nào dưới đây?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Đạo hàm của hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)$ là

Giá trị cực tiểu ${{y}_{CT}}$ của hàm số đã cho là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{6}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 4;-3;2 \right)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên các trục $Ox;Oy;Oz$ theo thứ tự là $M;N;P$. Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ là

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c,\left( a,\,b,\,c\in \mathbb{R}; \, a \ne 0 \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

Cho hai số phức ${{z}_{1}}\,,\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-3-2i \right|=\left| \overline{z}-1 \right|\,,\,\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}$ và số phức $w$ thoả mãn $\left| w-2-4i \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{2}}-2-3i \right|+\,\left| {{z}_{1}}-\,w \right|$ bằng

Số giá trị nguyên của tham số thực $m$ để tồn tại các số thực $x; \, y$ thỏa mãn ${{e}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-m}}+{{e}^{x+y+xy-m}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y+xy-2m+2$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x\,-\,y\,+\,z\,+\,3\,=\,0$, $\left( Q \right):\,x\,+\,2y\,-\,2z\,-\,5\,=\,0$ và mặt cầu $\left( S \right):\,{{x}^{2}}\,+\,{{y}^{2}}\,+\,{{z}^{2}}\,-2x\,+\,4y\,-6z\,-11\,=0$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( S \right)$ và $N$ là điểm di động trên $\left( P \right)$ sao cho $MN$ luôn vuông góc với $\left( Q \right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, từ điểm $A\left( 1;\,1;\,0 \right)$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;\,1;\,1 \right)$, bán kính $R=1$. Gọi $M\left( a;\,b;\,c \right)$ là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| 2a-b+2c \right|$ bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left[ f\left( \left| x+1 \right| \right)-2 \right]=m$ có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -3;3 \right]$?

Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy$ABC$ là tam giác vuông tại $A, \, BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Biết tứ giác $BC{C}'{B}'$ là hình thoi có $\widehat{{B}'BC}$ nhọn, mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ vuông góc mặt phẳng $\left( ABC \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $45^{\circ}$. Thể tích khối lăng trụ đó bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong ở hình vẽ dưới.

Gọi ${{x}_{1}}, \, {{x}_{2}}$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)-3f\left( {{x}_{2}} \right)=0$ và đồ thị luôn đi qua $M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ trong đó ${{x}_{0}}={{x}_{1}}-1;$ $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị qua $2$ điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và điểm $M.$ Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ (${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm $f\left( x \right), \, g\left( x \right)$) bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực của phương trình $\left| f\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right) \right|=2$ là

Trên tập hợp các số phức, xét phương trinh $z^{2}-6 z+m=0, \, \left(m\right.$ là tham số thực). Gọi $m_{0}$ là một giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, \, z_{2}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$. Trong khoảng $\left( 0\,;\,20 \right)$ có bao nhiêu giá trị nguyên của $m_{0}$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;3 \right)$, $B\left( 6;5;5 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ ngoại tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có $B$ là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi $S$ là đỉnh của khối nón $\left( N \right)$. Khi thể tích khối nón $\left( N \right)$ nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh $S$ và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Giá trị $T=b+c+d$ bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 5 \right)=1$ và $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{x\,f\left( 5x \right)\mathrm{d}x=1}$, khi đó $\displaystyle \int\limits_{0}^{5}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\mathrm{d}x}$ bằng