Dãy số. Dãy số tăng, giảm. Dãy số bị chặn SVIP

1. DÃY SỐ

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: $u(n)$.

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển $u_1, \, u_2, \, u_3, \, ... , \, u_n, \, ...$, trong đó $u_n=u(n)$ hoặc viết tắt là $(u_n)$, và gọi $u_1$ là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ $n$ và là số hạng tổng quát của dãy số.

2. DÃY SỐ TĂNG, GIẢM

Định nghĩa

▪️ Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

▪️ Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số $(u_n)$ với $u_n=(-1)^n$ có dạng khai triển: $-1, \, 1, \, -1, \, 1, \, -1, \,  ...$ là dãy số không tăng, không giảm.

3. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Định nghĩa

▪️ Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

▪️ Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

▪️ Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Dạng 1. Xác định công thức tổng quát của dãy số

Phương pháp: Tìm quy luật của 4 - 5 số hạng đầu tiên của dãy để suy ra công thức số hạng tổng quát $u_n$ cho dãy $(u_n)$.

Chú ý: Số hạng đầu tiên phải tương ứng với $n = 1$.

Ví dụ 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $0; \, \dfrac{1}{2}; \, \dfrac{2}{3}; \, \dfrac{3}{4}; \, \dfrac{4}{5}; \, ...$. Xác định số hạng tổng quát của dãy số này.

Lời giải

Ta có: $0=\dfrac{0}{0+1}$;

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$;

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}$;

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}$;

Suy ra $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Dạng 2. Tìm số hạng trong dãy số

Phương pháp:

+ Nếu bài toán cho $n_0$, yêu cầu tìm $u_{n_0}$: ta thay $n = n_0$ trong công thức số hạng tổng quát.

+ Nếu bài toán cho $u_n = a$, yêu cầu xác định $n$ (số hạng thứ mấy?): ta giải phương trình $u_n = a$ và lựa chọn các nghiệm $n \in \mathbb{N}^*$.

Chú ý: có thể sử dụng casio với chức năng TABLE

Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=2n+3$. Số hạng thứ $6$ của dãy số là bao nhiêu?

Lời giải

$u_6=2.6+3=15$.

Ví dụ 3. Cho dãy số $(u_n)$ có $u_n=-n^2+n+1$. Số $-19$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

Lời giải

Xét phương trình $-n^2+n+1=-19\Leftrightarrow -n^2+n+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &n=5  \\ &n=-4  \\ \end{aligned} \right.$

Do $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n=5$.

Dạng 3. Chứng minh dãy số tăng hoặc giảm

Phương pháp:

+ Phương án 1: xét hiệu $H = u_{n+1} - u_n$, nếu $H < 0$ thì dãy số giảm; nếu $H > 0$ thì dãy số tăng.

+ Phương án 2: xét thương $T = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, nếu $T < 1$ thì dãy số giảm; nếu $T >1$ thì dãy số tăng.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ với $u_n=3n-2$ là một dãy số tăng.

Lời giải

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có: $u_{n+1}=3(n+1)-2=3n+1$.

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=(3n+1)-(3n-2)=3>0$ hay ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng.

Dạng 4. Chứng minh dãy số bị chặn

Phương pháp:

Xác định GTLN, GTNN của số hạng tổng quát $u_n$ để xác định $m \le u_n \le M$.

Chú ý: Nếu dãy số $u_n$ tăng thì $u_n$ sẽ bị chặn dưới bởi $u_1$. Nếu dãy số $u_n$ giảm thì $u_n$ sẽ bị chặn trên bởi $u_1$.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ với $u_n=\dfrac{2n+5}{n+1}$ là bị chặn.

Lời giải

Ta có: $u_n=\dfrac{2n+5}{n+1}=\dfrac{2(n+1)+3}{n+1}=2+\dfrac{3}{n+1}, \, \forall n \in \mathbb{N}^*.$

Vì $0<\dfrac{3}{n+1} \le \dfrac{3}{2}, \, \forall n \in \mathbb{N}^*$ nên $2<2+\dfrac{3}{n+1}\le 2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}$ hay $2<u_n \le \dfrac{7}{2}, \, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

Ví dụ 6: Xét tính bị chặn của dãy $(u_n)$ với $u_n= n+ \dfrac1n$.

Lời giải

$u_n=n+\dfrac{1}{n}$ có $u_n=n+\dfrac{1}{n} \geq 2 \sqrt{n \cdot \dfrac{1}{n}}=2, \, \forall n>0$.

Vậy dãy số bị chặn bởi $2$.