Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng. SVIP

1. CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ

Khái niệm 

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$, trong đó $b$ khác $0$.

Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên $q$ và $r$ sao cho $a=b.q+r$, trong đó $0\leq r<b$. Ta gọi $q$ và $r$ lần lượt là thương và số dư trong phép chia $a$ cho $b$.

- Nếu $r=0$ tức $a=b.q$, ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu $a\,\vdots\,b$ và ta có phép chia hết $a=b.q$.

- Nếu $r\ne 0$, ta nói $a$ không chia hết cho $b$, kí hiệu $a\not\vdots\,b$ và ta có phép chia có dư.

Ví dụ 1: 

- Số $32$ chia hết cho $8$ vì $32=8.4$, kí hiệu là $32\,\vdots \, 8$

- Số $30$ không chia hết cho $8$ vì $30:8=3$ (dư $6$), kí hiệu là $30\not\vdots \, 8$. Ta viết $32=3.8+6$

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

a. Trường hợp chia hết

Tính chất 1

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

• Nếu $a\,\vdots \, m$ và $b\,\vdots \, m$ thì $(a+b)\,\vdots \, m$.
• Nếu $a\,\vdots \, m$, $b\,\vdots \,m$ và $c\,\vdots \,m$ thì $(a+b+c)\,\vdots \,m$.

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $30\,\vdots \,3$ và $18\,\vdots \,3$, suy ra $(30-18)\,\vdots \,3$.

Ví dụ 2: Không tính tổng, xét xem

a) $A=4+8+12+16$ có chia hết cho $4$ hay không. Vì sao?

b) $B= 49-14-7$ có chia hết cho $7$ hay không. Vì sao?

Giải

a) Các số $4;\,8;\,12;\,16$ đều chia hết cho $4$ nên $A$ chia hết cho $4$.

b) Các số $49;\,14;\,7$ đều chia hết cho $7$ nên $B$ chia hết cho $7$.

b. Trường hợp không chia hết

Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

• Nếu $a\,\vdots \,m$ và $b\not\vdots \,m$ thì $(a+b)\not\vdots \,m$.
• Nếu $a\,\vdots \,m$, $b\,\vdots \,m$ và $c\not\vdots \,m$ thì $(a+b+c)\not\vdots \,m$

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $45\,\vdots \,5$ và $8\not\vdots \,5$, suy ra $(45-8)\not\vdots \,5$.

Ví dụ 3: Không tính tổng, xét xem

a) $A=5+6+10$ có chia hết cho $5$ hay không. Vì sao?

b) $B= 36-6-4$ có chia hết cho $6$ hay không. Vì sao?

Giải

a) Các số $5;\,10$ đều chia hết cho $5$ và $6\not\vdots \,5$ nên $A$ không chia hết cho $5$.

b) Các số $36;\,6$ đều chia hết cho $6$ và $4\not\vdots \,6$  nên $B$ không chia hết cho $7$.