Cấp số nhân SVIP

1. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$, tức là: $u_n=u_{n-1}.q$ với $n \ge 2$. Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý: Cho cấp số nhân $(u_n)$, nếu $q=1$ thì cấp số nhân là dãy số không đổi.

2. CÔNG THỨC

Số hạng tổng quát:

Nếu cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n=u_1.q^{n-1}$ với $n\ge 2$.

Tính chất: Cho cấp số nhân $(u_n)$, ta có $(u_k)^2=u_{k-1}.u_{k+1}$.

Tổng n số hạng đầu tiên:

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$. Đặt $S_{n}=u_1+u_2+u_3+ ... +u_n$. Khi đó:

$S_{n}=\dfrac{{u_1}(1-q^n)}{1-q}$

Dạng 1. Nhận diện cấp số nhân

Phương pháp: Nếu trong dãy số, số sau bằng số liền trước đó nhân với một số không đổi $q$ thì dãy số đó là cấp số nhân.

Dạng 2. Tìm hạng tử trong cấp số nhân

Phương pháp: Áp dụng công thức $u_n=u_{n-1}.q$.

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân $(u_)$ với $u_1 = 3$ và công bội $q=-2$. Giá trị của $u_4$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có $u_4={{u}_{1}}.q^3=3.(-2)^3=-24$.

Dạng 3. Tìm công thức cấp số nhân

Phương pháp: Xác định $u_1$​ là số hạng đầu, $q$ là công bội rồi áp dụng công thức $u_n=u_{n-1}.q$.

Ví dụ 2. Công bội $q$ của một cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=\dfrac{1}{2}$ và $u_6=16$ là bao nhiêu?

Lời giải

Ta có $u_6={{u}_{1}}.q^5 \Rightarrow 16=\dfrac{1}{2}.q^5 \Leftrightarrow q=2$.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_3=2$ và $u_6=16$. Tìm số hạng thứ $10$ của cấp số nhân đã cho.

Lời giải

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & u_3=2 \\ & u_6=16 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & u_1.q^2=2 \, (1) \\ & u_1.q^5=16 \, (2)\\ \end{aligned} \right.$

Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được $2.q^3=16\Leftrightarrow  q^3=8\Leftrightarrow q=2$.

Từ đó suy ra $u_1=\dfrac{1}{2}$.

Số hạng thứ $10$ là $u_{10}=u_1.q^9=256$.

Dạng 4. Tính tổng cấp số nhân

Phương pháp: Xác định $u_1$​ và $q$ rồi áp dụng $S_{n}=\dfrac{{u_1}(1-q^n)}{1-q}$.

Ví dụ 4. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và công bội $q=-3$. Tính tổng $4$ số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$.

Lời giải

Ta có $S_4=\dfrac{{u_1}(q^4-1)}{q-1}=\dfrac{2( 81-1 )}{-3-1}=-40.$