Các quy tắc tính đạo hàm SVIP

1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

a) Đạo hàm của hàm số $y=x^n$ $\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$

Hàm số $y=x^n$ $\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $\left(x^n\right)'=n x^{n-1}$.

Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:

+ Đạo hàm của hàm hằng bằng $0:(c)'=0$ với $c$ là hằng số;

+ Đạo hàm của hàm số $y=x$ bằng $1$: $(x)'=1$.

b) Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0 ;+\infty)$ và $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$.

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại các điểm $x=4$ và $x=\dfrac{1}{4}$.

Lời giải

Với mọi $x \in(0 ;+\infty)$, ta có $y'=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$.

Do đó $y'(4)=\dfrac{1}{2 \sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}$ và $y'\Big(\dfrac{1}{4}\Big)=\dfrac{1}{2 \sqrt{\dfrac14}}=1$.

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

Giả sử các hàm số $u=u(x), \, v=v(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a ; b)$. Khi đó

$(u+v)'=u'+v'$; 

$(u-v)'=u'-v'$;

$(u v)'=u' v+u v'$;

$\Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u' v-u v'}{v^2}$ ($v=v(x) \neq 0$).

Chú ý

+ Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

+ Với $k$ là một hằng số, ta có: $(k u)'=k u'$.

+ Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: $\Big(\dfrac{1}{v}\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ ($v=v(x) \neq 0$).

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{1}{3} x^3-x^2+2 x+1$

b) $y=\dfrac{2 x+1}{x-1}$.

Lời giải

a) Ta có: $y' =\dfrac{1}{3}\left(x^3\right)'-\left(x^2\right)'+2(x)'+1=\dfrac{1}{3} . 3 x^2-2 x+2=x^2-2 x+2.$

b) Với mọi $x \neq 1$, ta có: $y' =\dfrac{(2 x+1)'(x-1)-(2 x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} =\dfrac{2(x-1)-(2 x+1)}{(x-1)^2}=-\dfrac{3}{(x-1)^2}$.

Ví dụ 3. Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0=20$ m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao $h$ so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm $t$ (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau: $h=v_0 t-\dfrac{1}{2} g t^2,$ trong đó $v_0$ là vận tốc ban đầu của vật, $g=9,8$ m/s$^2$ là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Lời giải

Phương trình chuyển động của vật là $h=v_0 t-\dfrac{1}{2} g t^2$.

Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ được cho bởi $v(t)=h'=v_0-g t$.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm $t_1=\dfrac{v_0}{g}$, tại đó vận tốc bằng $v\left(t_1\right)=v_0-g t_1=0$.

Vật chạm đất tại thời điểm $t_2$ mà $h\left(t_2\right)=0$ nên ta có: $v_0 t_2-\dfrac{1}{2} g t_2^2=0$

$\Leftrightarrow t_2=0$ (loại) hoặc $ t_2=\dfrac{2 v_0}{g}$. 

Khi chạm đất, vận tốc của vật là $v\left(t_2\right)=v_0-g t_2=-v_0=-20$ (m/s).

Dấu âm của $v\left(t_2\right)$ thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc $20$ m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

a) Khái niệm hàm số hợp

Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính $r$ được cho bởi $S=\pi r^2$. Bán kính $r$ thay đổi theo nhiệt độ $t$ của chiếc đĩa, tức là $r=r(t)$. Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ $S=S(t)=\pi(r(t))^2$. Ta nói $S(t)$ là hàm số hợp của hàm $S=\pi r^2$ với $r=r(t)$. Giả sử $u=g(x)$ là hàm số xác định trên khoảng $(a ; b)$, có tập giá trị chứa trong khoảng $(c ; d)$ và $y=f(u)$ là hàm số xác định trên khoảng $(c ; d)$. Hàm số $y=f(g(x))$ được gọi là hàm số hợp của hàm số $y=f(u)$ với $u=g(x)$.

Ví dụ 4. Biểu diễn hàm số $y=(2 x+1)^{10}$ dưới dạng hàm số hợp.

Lời giải

Hàm số $y=(2 x+1)^{10}$ là hàm số hợp của hàm số $y=u^{10}$ với $u=2 x+1$.

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm $u_x'$ tại $x$ và hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm $y_u'$ tại $u$ thì hàm số hợp $y=f(g(x))$ có đạo hàm $y_x'$ tại $x$ là $$ y_x'=y_u' .u_x' . $$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$.

Lời giải

Đặt $u=x^2+1$ thì $y=\sqrt{u}$ và $y_u'=\dfrac{1}{2 \sqrt{u}}, u_x'=2 x$.

Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có: $y_x'=y_u' . u_x'=\dfrac{2 x}{2 \sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau: $y'=\left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{\left(x^2+1\right)'}{2 \sqrt{x^2+1}}=\dfrac{2 x}{2 \sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a) Đạo hàm của hàm số $y=\sin x$

Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $(\sin x)'=\cos x$.

Đối với hàm số hợp $y=\sin u$, với $u=u(x)$, ta có: $(\sin u)'=u' . \cos u$.

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{8}\right)$.

Lời giải

Ta có: $y'=\left(2 x+\dfrac{\pi}{8}\right)' . \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{8}\right)=2 \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{8}\right)$.

b) Đạo hàm của hàm số $y=\cos x$

Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $(\cos x)'=-\sin x$.

Đối với hàm số hợp $y=\cos u$, với $u=u(x)$, ta có: $(\cos u)'=-u' . \sin u$.

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số $y=\cos \left(4 x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Lời giải

Ta có: $y'=-\left(4 x-\dfrac{\pi}{3}\right)' . \sin \left(4 x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-4 \sin \left(4 x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

c) Đạo hàm của các hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$

Hàm số $y=\tan x$ có đạo hàm tại mọi $x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$ và $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos ^2 x}$.

Hàm số $y=\cot x$ có đạo hàm tại mọi $x \neq k \pi(k \in \mathbb{Z})$ và $(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin ^2 x}$.

Đối với các hàm số hợp $y=\tan u$ và $y=\cot u$, với $u=u(x)$, ta có $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos ^2 u}$;

$(\cot u)'=-\dfrac{u'}{\sin ^2 u}$ (giả thiết tan $u$ và cot $u$ có nghĩa).

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số $y=\tan \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Lời giải

Ta có: $y'=\dfrac{\left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)'}{\cos ^2\left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{2}{\cos ^2\left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)}$.

5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Ta có các giới hạn sau: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}$; $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x}=1$; $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1.$

b) Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số $y=\mathrm{e}^x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $\left(e^x\right)'=\mathrm{e}^x$. Đối với hàm số hợp $y=\mathrm{e}^u$, với $u=u(x)$, ta có: $\left(\mathrm{e}^u\right)'=\mathrm{e}^u .u'$.

Hàm số $y=a^x(0<a \neq 1)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $\left(a^x\right)'=a^x$ In $a$.

Đối với hàm số hợp $y=a^u$, với $u=u(x)$, ta có: $\left(a^u\right)'=a^u . u' \cdot$ In $a$.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số $y=2^{x^2-x}$.

Lời giải

Ta có: $y'=2^{x^2-x} . \left(x^2-x\right)' . \ln 2=2^{x^2-x}(2 x-1) \ln 2$.

c) Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hàm số $y=\ln x$ có đạo hàm trên khoảng $(0 ;+\infty)$ và $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$.

Đối với hàm số hợp $y=\ln u$, với $u=u(x)$, ta có: $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$.

Hàm số $y=\log _a x$ có đạo hàm trên khoảng $(0 ;+\infty)$ và $\left(\log _a x\right)'=\dfrac{1}{x \ln a}$.

Đối với hàm số hợp $y=\log _a u$, với $u=u(x)$, ta có: $\left(\log _a u\right)'=\dfrac{u'}{u \ln a}$.

Chú ý. Với $x<0$, ta có: $\ln |x|=\ln (-x)$ và $[\ln (-x)]'=\dfrac{(-x)'}{-x}=\dfrac{1}{x}$. Từ đó ta có: $(\ln |x|)'=\dfrac{1}{x}, \, \forall x \neq 0 $.

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số $y=\ln \left(x^2+1\right)$.

Lời giải

Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $y'=\dfrac{\left(x^2+1\right)'}{x^2+1}=\dfrac{2 x}{x^2+1}$.