Bài toán chọn người, chọn vật SVIP

Một bài thi trắc nghiệm có $20$ câu hỏi. Mỗi câu có $4$ phương án trả lời. Số phương án trả lời bài thi là

Ông và bà Đô cùng có $5$ người con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông Đô hoặc bà Đô đứng ở đầu hoặc cuối hàng?

Có $25$ câu hỏi khác nhau gồm $5$ câu khó, $10$ câu trung bình, $10$ câu dễ. Từ $25$ câu đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm $5$ câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có $3$ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn $40\%$ số câu?

Giả sử ta dùng $9$ màu để tô cho $4$ nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là

Mười đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?

Có bao nhiêu cách phân phát $10$ phần quà giống nhau cho $6$ học sinh, sao cho mỗi học sinh có ít nhất một phần thưởng?

Có $5$ học sinh và $2$ thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

Trong một tuần, bạn An dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $13$ người bạn. Hỏi bạn An có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình, biết rằng An không thăm một bạn quá một lần một tuần?

Xếp $3$ bạn học sinh lớp A, $2$ bạn học sinh lớp B, $1$ bạn học sinh lớp C thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai bạn học sinh cùng lớp không đứng liền nhau?