Bài tập tự luận: Liên hệ giữa cung và dây SVIP

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) BC // DE.

b) Tứ giác BCED là hình thang cân.

Cho đường tròn (O ; R) hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc cung nhỏ AB). Kẻ đường kính BE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) $AC = DE.$

b) $IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2.$

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông góc với AB cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD, cắt đường tròn tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.

b) DE = BF.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) \(\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{BN}\).

b) Tứ giác $OKME$ là hình chữ nhật.

c) Ba điểm $P,$ $O,$ $N$ thẳng hàng và $KE // PN$.

Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và (O;r) với R > r. Từ một điểm P ở trên đường tròn (O ; R), kẻ hai tia Px, Py không qua O cắt hai đường tròn theo thứ tự ở A, B, E và C, D, F. Biết rằng AB > CD. Chứng minh rằng: 

a) PA = BE;

b) So sánh các cung nhỏ PE, PF.

Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng dây AB của đường tròn có độ dài bằng 2a và khoảng cách từ điểm chính giữa cung AB đến dây AB bằng h.