Cho $\widehat{AOB}+\widehat{A_2} -180^{\circ} = \widehat{B_1}$. Chứng minh rằng $Ax$ // $By$.
Hướng dẫn giải:
Trong $\widehat{A O B}$ dựng tia $O t$ // $O x$. (1)
Suy ra $\widehat{O}_{2}+\widehat{A}_{2}=180^{\circ}$ (2 góc trong cùng phía).
Khi đó $\widehat{O}_{1} =\widehat{A O B}-\widehat{O}_{2} =\widehat{A O B}-\left(180^{\circ}-\widehat{A}_{2}\right) =\widehat{A O B}+\widehat{A}_{2}-180^{\circ} =\widehat{B}_{1}$
$\Rightarrow O t$ // $B y$ (vì có cặp góc so le trong bằng nhau). (2)
Từ (1) và (2) suy ra $A x$ // $B y$ (vì cùng song song với $O t$ ).
Cho hai đường thẳng $xy / / x'y'$, đường thẳng $d$ cắt $xy$ và $x' y'$ tại $A$ và $B$. Kẻ tia phân giác $AA'$ của $\widehat{xAB}$ cắt $x' y'$ tại $A'$ và tia phân giác $BB'$ của $\widehat{ABy'}$ cắt $xy$ tại $B'$. Chứng minh rằng:
a) $AA'$ // $BB'$.
b) $\widehat{AA' B}=\widehat{AB' B}$.
Hướng dẫn giải:
a) $x y / / x' y'$ nên $\widehat{x A B}=\widehat{A B y'}$ (hai góc so le trong). (1)
$AA'$ là tia phân giác của $\widehat{xAB}$ nên: $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2} \widehat{xAB}$. (2)
$BB'$ là tia phân giác của $\widehat{ABy'}$ nên: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2} \widehat{ABy'}$. (3)
Từ (2) và (3) ta có: $\widehat{A_2}=\widehat{B_1} .$
Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên từ (1), (2), (3) ta có: $AA'$ // $BB'$ (có 2 góc so le trong bằng nhau).
b) $x y / / x' y'$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{A A' B}$ (hai góc so le trong).
$AA' / / BB'$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{AB' B}$ (hai góc đồng vị).
Trên cạnh $AB$ của $\triangle {ABC}$, lấy điểm $E$ và điểm $M$. Từ $E$ kẻ $EF$ // $BC$ ($F$ thuộc $AC$), từ điểm $M$ kẻ $MN$ // $BC$ ( $N$ thuộc $AC$ ).
a) Chứng minh rằng $EF$ // $MN$.
b) Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa cạnh $AC$ không chứa điểm $B$ dựng góc $\widehat{CAx}=\widehat{ACB}.$ Chứng minh $Ax$ // $MN$.
Hướng dẫn giải:
a) $EF$ // $BC$ suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị) (1)
$MN$ // $BC$ suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{AMN}$ (hai góc đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{AMN}$, mà hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra $EF$ // $MN$.
b) $\widehat{CAx}=\widehat{ACB}$
Vạy $Ax$ // $BC$ (vì 2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
Mà $MN$ // $BC$ duy ra $Ax$ // $MN$ (cùng song song với $BC$).
