Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn SVIP

Một cửa hàng kinh doanh rau tươi ước tính doanh thu bởi hàm số $f(x)=x^2-29 \, 000x+1\,000\,100 \, 000$ (đồng) và tiền lãi thu được là $g(x)=1\,000x+100\,000$ (đồng) với $x$ (đồng) là giá bán cho mỗi kg rau tươi. Biết doanh thu bằng tổng tiền lãi và tiền vốn. Tìm giá bán mỗi kg rau tươi (đơn vị nghìn đồng) sao cho cửa hàng phải bỏ vốn ra ít nhất.

Trả lời:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật và quãng đường di chuyển được sau $t$ giây được tính theo công thức $S\left(t \right)=-3t^3+243t^2$ (m). Vận tốc $v$ (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t$ bằng bao nhiêu giây?

Trả lời:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức $G(x)=0,024x^2(30-x)$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp ($x$ được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất.

Trả lời:  mg

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh $24$ cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm), rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một khối hộp chữ nhật không nắp.

Tìm $x$ sao cho thể tích khối hộp lớn nhất.

Trả lời:

Một hãng dược phẩm dùng những chiếc lọ bằng nhựa có dạng hình trụ để đựng thuốc. Biết rằng mỗi lọ có thể tích là $16\pi$ cm$^{3}$ và bề dày không đáng kể. Tính bán kính đáy $R$, đơn vị cm của lọ để tốn ít nguyên liệu sản xuất lọ nhất (kể cả nắp lọ).

Trả lời:  

Từ một miếng tôn có hình dạng là một nửa hình tròn bán kính $R=3$, người ta cắt ra một miếng hình chữ nhật như mô tả trong hình vẽ. 

Diện tích lớn nhất có thể có của hình chữ nhật nêu trên là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)

Trả lời: 

Ban đầu bạn An ở vị trí điểm $A$ muốn đến điểm $C$ ở bên bờ sông. Biết rằng An đứng đối diện và cách chiếc cọc tại điểm $B$ một khoảng cách $10$ km. Khi sang sông, An sẽ đến vị trí điểm $M$ bất kì thuộc đoạn thẳng $BC$. Biết trên sông, An di chuyển với vận tốc $30$ km/h và trên đất liền, An di chuyển với vận tốc $50$ km/h.

Hỏi $5MB+3MC$ bằng bao nhiêu km để bạn An đến vị trí điểm $C$ nhanh nhất?

Trả lời: km.

Theo thống kê tại một nhà máy $Z$, nếu áp dụng tuần làm việc $40$ giờ thì mỗi tuần có $100$ công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được $120$ sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm $2$ giờ mỗi tuần thì sẽ có $1$ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm $5$ sản phẩm/$1$ công nhân/$1$ giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P\left( x \right)=\dfrac{95{{x}^{2}}+120x}{4}$, với $x$ là thời gian làm việc trong một tuần (đơn vị: giờ). Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Trả lời:  giờ.