Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa có cùng cơ số là số tự nhiên.
Vấn đề 1: Tính tổng \(S=1+a+a^2+a^3+...+a^{n-1}+a^n\)(1)
Phương pháp giải:
Nhân cả hai vế của bài toán trên với \(a\) ta có:
\(a.S=a+a^2+a^3+...+a^n+a^{n+1}\) (2)
Trừ vế theo vế bài toán (2) với bài toán (1). Ta có:
\(aS-S=a^{n+1}-1\)
\(\left(a-1\right)S=a^{n+1}-1\)
\(S=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}\)
Ví dụ 1: Tính tổng:
\(A=1+4+4^2+4^3+4^4+...+4^{101}\)
Giải: Ta có:
\(4A=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{102}\)
\(\Rightarrow4A-A=4^{102}-1\)
\(3A=4^{102}-1\)
\(A=\dfrac{4^{102}-1}{3}\)
Vấn đề 2: Tính tổng: \(S=1-a+a^2-a^3+...+a^{2n}\left(a>1,n\inℕ\right)\)
Nhân cả hai vế \(a\) ta được:
\(aS=a-a^2+a^3-a^4+...+a^{2n+1}\)
Cộng vế với vế ta có:
\(S+aS=1+a^{2n}\)
\(\left(1+a\right)S=1+a^{2n}\)
\(S=\dfrac{1+a^{2n}}{1+a}\)
VD1: Tính tổng: \(A=1-2+2^2-2^3+...-2^{99}+2^{100}\)
Giải: Ta có:
\(2A=2-2^2+2^3-2^4+...-2^{100}+2^{101}\)
\(A+2A=1+2^{101}\)
\(3A=1+2^{101}\)
\(A=\dfrac{1+2^{101}}{3}\)
Dạng 2: Tính tổng các tích.
VD1: Tính tổng:
\(S=1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+...+99.100\)
Giải:
\(3S=3.\left(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+...+99.100\right)\)
\(3S=1.2.3+2.3.3+3.4.3+4.5.3+5.6.3+6.7.3+...+99.100.3\)
\(\)\(3S=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+4.5.\left(6-3\right)+5.6.\left(7-4\right)+6.7.\left(8-5\right)+...+99.100.\left(101-98\right)\)
\(3S=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+4.5.6-3.4.5+5.6.7-4.5.6+6.7.8-5.6.7+...+99.100.101-98.99.100\)
\(3S=99.100.101\)
\(\Rightarrow S=33.100.101=333300\)
VD2: Tính tổng:
\(S=1.3+3.5+5.7+7.9+...+97.99+99.101\)
Giải:
Ta có:
\(6S=1.3.6+3.5.6+5.7.6+7.9.6+...+97.99.6+99.101.6\)
\(6S\)\(=1.3.\left(5+1\right)+3.5.\left(7-1\right)+5.7.\left(9-3\right)+7.9.\left(11-5\right)+...+97.99.\left(101-95\right)+99.101.\left(103-97\right)\)
\(6S=1.3.5+1.3.1+3.5.7-1.3.5+5.7.9-3.5.7+7.9.11-5.7.9+...+97.99.101-95.97.99+99.101.103-97.99.101\)
\(6S=1.3.1+99.101.103\)
\(6S=3+99.101.103\)
\(6S=1029900\)
\(S=\dfrac{1029900}{6}=171650\)
VD3: Tính tổng:
\(A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+...+98.99.100\)
Giải:
Ta có:
\(4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+4.5.6.4+...+98.99.100.4\)
\(4A=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+3.4.5.\left(6-2\right)+4.5.6.\left(7-3\right)+...+98.99.100.\left(101-97\right)\)
\(4A=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+4.5.6.7-3.4.5.6+...+98.99.100.101-97.98.99.100\)
\(\text{4A=98.99.100.101}\)
\(A=24497550\)
VD4.Tính tổng:
\(S=1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+95.97.99\)
Giải:
Ta có:
\(8.S=1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+...+95.97.99.8\)
\(8S=1.3.5.\left(7+1\right)+3.5.7.\left(9-1\right)+5.7.9.\left(11-3\right)+...+95.97.99.\left(101-93\right)\)
\(8S=1.3.5.7+1.1.3.5+3.5.7.9-1.3.5.7+5.7.9.11-3.5.7.9+...+95.97.99.101-93.95.97.99\)
\(8S=3.5+95.97.99.101\)
\(S=\dfrac{8+92140785}{8}=11517600\)
\(\)
