chúc mừng các bn nhé

1. Xét số 6^666

• Chu kỳ lặp của 6: Dễ dàng nhận thấy khi nâng 6 lên các lũy thừa khác nhau, hai chữ số tận cùng luôn là 6.
• Kết luận: Hai chữ số tận cùng của 6^666 là 66.

2. Xét số 12 * 3^20

• Chia nhỏ: 12 * 3^20 = 4 * 3^22
• Chu kỳ lặp của 3: Khi nâng 3 lên các lũy thừa, hai chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ 4: 03, 09, 27, 81.
• Tìm số dư khi chia 22 cho 4: 22 chia 4 dư 2.
• Kết luận: Hai chữ số tận cùng của 3^22 là 09. Vậy, hai chữ số tận cùng của 4 * 3^22 là 36.

3. Tính hiệu:

• Hai chữ số tận cùng của 6666 là 66.

• Hai chữ số tận cùng của 12 * 3^20 là 36.

• Để trừ hai số có hai chữ số, ta thực hiện phép trừ bình thường. Tuy nhiên, khi hàng đơn vị của số bị trừ nhỏ hơn hàng đơn vị của số trừ, ta cần "mượn 1" từ hàng chục.

• Tính: 66 - 36 = 30.

Kết luận:

Hai chữ số tận cùng của 6^666 - 12 * 3^20 là 30.

Vậy, đáp án cuối cùng của chúng ta là 30.

 ĐÂY NHÉ BẠN!

 

1. Tổng chung:

   • Tổng của tất cả các số từ 1 đến 7 là: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24.
   • Vì có 4 tổng bằng nhau (2 cột và 2 đường chéo), nên mỗi tổng này sẽ bằng: 24 / 4 = 6.

2. Sắp xếp các số:

   • Để tạo ra các tổng bằng 6, chúng ta có thể thử các cách sắp xếp khác nhau. Tuy nhiên, để đảm bảo tích trên hàng xám lớn nhất, chúng ta cần đặt các số lớn nhất vào các vị trí sao cho tổng các cột và đường chéo vẫn bằng 6.
   • Một cách sắp xếp hợp lý có thể là: 7 1 6 2 5 3 4 x x Ở đây, x là các số còn lại (4).

3. Tìm tích lớn nhất trên hàng xám:

   • Để tích trên hàng xám lớn nhất, chúng ta cần đặt số 4 vào vị trí giữa. 7 1 6 2 5 3 4 6 2
   • Vậy tích lớn nhất có thể của 3 số trên hàng xám là: 4 * 6 * 2 = 48.

Kết luận:

Tích LỚN NHẤT có thể có trong 3 số trên hàng xám là 48.

 

Phần a: Chứng minh bất đẳng thức

Ý tưởng chung:

• Phân tích: Chúng ta sẽ cố gắng tìm cách biểu diễn an dưới dạng một hiệu của hai phân số, sao cho khi cộng các an lại, nhiều phần tử sẽ triệt tiêu nhau.
• So sánh: Sau khi rút gọn, chúng ta sẽ so sánh tổng thu được với 1.

Giải chi tiết:

Ta có:

 

an = (2^n)^2 / (2^n+1)^2 - 1 / (2^n+1)^2 = (4^n - 1) / (2^n+1)^2

Nhận thấy:

 

4^n - 1 = (2^n - 1)(2^n + 1)

Thế vào an, ta được:

 

an = (2^n - 1) / (2^n+1)

Do đó:

 

a1 + a2 + ... + a2023 = (1/3) + (3/5) + ... + (2^2023 - 1) / (2^2023 + 1)

Quan sát: Mỗi số hạng trong tổng trên đều nhỏ hơn 1/2.

Chứng minh:

Xét số hạng tổng quát:

 

(2^n - 1) / (2^n+1) < 1/2 <=> 2^(n+1) - 2 < 2^n + 1 <=> 2^n > 3

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi n ≥ 2.

Kết luận:

Vì mỗi số hạng đều nhỏ hơn 1/2 và có 2023 số hạng, nên:

 

a1 + a2 + ... + a2023 < 2023 * (1/2) < 1

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần chứng minh.

Phần b: Tìm giá trị của T = xy

Ý tưởng chung:

• Sử dụng điều kiện: Từ giả thiết 2x+1/y và 2y+1/x là các số nguyên dương, ta sẽ tìm cách thiết lập các bất đẳng thức hoặc phương trình liên quan đến x và y.
• Phân tích: Dựa vào các bất đẳng thức hoặc phương trình đó, ta sẽ rút ra các kết luận về giá trị của T.

Giải chi tiết:

Đặt a = 2x+1/y và b = 2y+1/x. Theo giả thiết, a và b là các số nguyên dương.

Ta có hệ phương trình:

 

2x + 1/y = a 2y + 1/x = b

Giải hệ này, ta được:

 

xy = (ab - 2) / (a+b)

Phân tích:

• Điều kiện: Để xy là số nguyên dương, thì tử số ab - 2 phải chia hết cho mẫu số a+b.
• Khó khăn: Việc tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn điều kiện trên là khá phức tạp và không có một công thức tổng quát đơn giản.

Kết luận:

Bài toán này đòi hỏi thêm phân tích và có thể có nhiều cặp số (x, y) thỏa mãn. Để tìm tất cả các giá trị của T, ta cần xét thêm các trường hợp đặc biệt hoặc sử dụng các kỹ thuật số học nâng cao.

chúc mừng mọi người nha 

Việt Nam